최단 경로 알고리즘

Ⅰ. 최단 경로 알고리즘

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미합니다.

• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현.

• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현.

① 다익스트라 최단 경로 알고리즘

1. 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산합니다.

2. 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작합니다.

3. 그리디 알고리즘으로 분류됩니다. 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.

다익스트라 최단 경로 동작 과정

1. 출발 노드를 설정합니다.

2. 최단 거리 테이블을 초기화합니다.

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.

5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복합니다.

다익스트라 알고리즘 특징

• 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다. (그리디 알고리즘)

• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바꿔지 않습니다.

• 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있습니다.

• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.

• 최단 거리가 아닌 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 합니다.

다익스트라 알고리즘 구현

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘 성능 분석

• 총 $O(V)$번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 합니다.

• 전체 시간 복잡도는 $O(V^2)$입니다. (V : 노드 수)

• 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제 대부분 해결 가능.

② 다익스트라 개선 알고리즘

우선순위 큐 (Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 구조입니다.

• 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있습니다.

힙 (Heap)

• 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나입니다.

• 최소 힙과 최대 힙이 있습니다.

파이썬 구현

# 최소 힙 (우선 순위가 낮은 데이터부터) 
import heapq

def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value) 
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        reuslt.append(heapq.heappop(h))
    return result
    
reulst = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

# 최대 힙 (우선 순위가 높은 데이터부터) 
import heapq

def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value) 
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        reuslt.append(-heapq.heappop(h))
    return result
    
reulst = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

다익스트라 개선 알고리즘 특징

• 단계마다 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용합니다.

• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하지만 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 최소 힙(최단거리가 가장 짧은 노드 선택) 자료구조를 추가적으로 사용합니다.

다익스트라 개선 알고리즘 구현

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 개선 알고리즘 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 $O(ElogV)$입니다.

• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(While)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않습니다.

• 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있습니다.

• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사합니다.

• $O(ElogE)$ → $O(ElogV^2)$ → $O(2ElogV)$ → $O(ElogV)$

③ 플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산합니다.

• 다익스트라와 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행합니다.

• 하지만 매 단계마다 방문하지 않는 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않습니다.

• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장합니다.

• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속합니다.

플로이드 워셜 알고리즘 동작 과정

1. 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화합니다.

2. 1, 2...n번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신합니다.

플로이드 워셜 알고리즘 특징

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인합니다.

• a에서 b로가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사합니다.

• 점화식은 $D_{ab} = min(D_{ab},D_{ak}+D_{kb})$

플로이드 워셜 알고리즘 구현

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 $N$개일 때 알고리즘상 $N$번의 단계를 수행합니다.

• 각 단계마다 $O(N^2)$의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려합니다.

• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 $O(N^3)$

④ 벨만 포드 알고리즘

• 벨만 포드 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있습니다.

• 음수 간선의 순환을 감지할 수 있습니다.

• 시간 복잡도는 $O(VE)$로 다익스트라 알고리즘에 비해 느립니다.

벨만 포드 알고리즘 동작 과정

1. 출발 노드를 설정합니다.

2. 최단 거리 테이블을 초기화합니다.

3. 전체 간선 E개를 하나씩 확인합니다.

4. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.

5. 3~4의 과정을 N-1번 반복합니다.

6. 만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 5번에서 N-1번이 아닌 N번 수행합니다.

   • 이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것입니다.

다익스트라 알고리즘 VS 벨만 포드 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘

  • 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.
  • 음수 간선이 있다면 최적의 해를 찾을 수 없습니다.

• 벨만 포드 알고리즘

  • 매번 모든 간선을 전부 확인합니다.
  • 따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함합니다.
  • 음수 간선 순환을 탐지할 수 있습니다.
  • 다익스트라 알고리즘에 비해서 시간이 오래 걸립니다.

벨만 포드 알고리즘 구현

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
edges = []
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    edges.append((a, b, c))

def bf(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    # 전체 n - 1번의 라운드(round)를 반복
    for i in range(n):
        # 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
        for j in range(m):
            cur_node = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1]
            edge_cost = edges[j][2]
            # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if distance[cur_node] != INF and distance[next_node] > distance[cur_node] + edge_cost:
                distance[next_node] = distance[cur_node] + edge_cost
                # n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                if i == n - 1:
                    return True
    return False

# 벨만 포드 알고리즘을 수행
negative_cycle = bf(1) # 1번 노드가 시작 노드

if negative_cycle:
    print("-1")
else:
    # 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for i in range(2, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
        if distance[i] == INF:
            print("-1")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(distance[i])

Ⅱ. 예제

① 전보

❔ 문제 설명

어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메세지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메세지를 전송할 수 있다.

하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.

어느날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.

각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.

💡 문제 해결 아이디어

• 핵심 아이디어 : 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있습니다.

• N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 구현합니다.

✔️ 풀이

Python

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
   q = []
   # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
   heapq.heappush(q, (0, start))
   distance[start] = 0
   while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

② 미래 도시

❔ 문제 설명

미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.

미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간을 이동할 수 있다.

또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다.

따라서 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표이다. 이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다.

방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

💡 문제 해결 아이디어

• 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결합니다.

• N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있습니다.

• 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 됩니다.

✔️ 풀이

Python

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)

③ 타임머신

❔ 문제 설명

N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다. 각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다. 시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다.

1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.

💡 문제 해결 아이디어

• 핵심 아이디어 : 음수 간선이 포함된 최단 경로 문제이므로 벨만 포드 알고리즘을 사용

✔️ 풀이

Python

import sys
input = sys.stdin.readline
 
def bellmanFord():
    global isPossible
 
    for repeat in range(N):
        for i in range(1, N+1):
            for wei, vec in adjList[i]:
                if dist[i] != INF and dist[vec] > dist[i] + wei:
                    dist[vec] = dist[i] + wei
                    if repeat == N-1:
                        isPossible = False
 
N, M = map(int,input().split())
adjList = [[] for _ in range(N+1)]
INF = 2147483647
dist = [INF] * (N+1)
dist[1] = 0
isPossible = True
 
for _ in range(M):
    a,b,c = map(int,input().split())
 
    adjList[a].append((c,b))
 
bellmanFord()
 
if not isPossible:
    print(-1)
else:
    for d in dist[2:]:
        print(d if d !=INF else -1)