정의역 / 공역 / 치역
y = f(x) 에서
y는 치역
x는 정의역에 해당하며
치역의 집합을 공역이라고 보면 된다.
삼각함수
직각삼각형 환경의 특정한 점을 기준으로 해당 점을 만드는 이웃하는 두 변 사이의 각(θ)을 통해 삼각비를 구하는 함수이다.
위 그림에서의 θ각은 원점에 맞닿는 두 변 사이의 각이다.
- sinθ : 해당 점으로부터 (마주보는 변/빗변)
- cosθ : 해당 점으로부터 (이웃하는 변/빗변)
- tanθ : sin/cos!
수학에서 주로 사용하는 함수를 간단하게 나타내는 수식 y = f(x)로 생각해보자면,
삼각비를 rate로, 특정 각도를 θ라고 할 때
" rate = f(θ) "
즉, sin·cos·tan은 이 θ를 통해 rate를 구하는 함수인 것이다.
※주의 : 모든 변은 직각삼각형 환경에서의 변을 기준으로 한다.
(둔각 혹은 예각일 경우 가상의 점선을 그어서 직각삼각형을 만들고 계산해야 함)
삼각함수의 역수
삼각함수를 사용한 수식의 치역인 '삼각비'를 역수로 표현하는 수를 말한다.
- sin ↔ csc (사인, 코시컨트)
- cos ↔ sec (코사인, 시컨트)
- tan ↔ cot (탄젠트, 코탄젠트)
역삼각함수
역함수는 정의역과 치역을 뒤바꾼 함수를 말한다.
y = f(x)인 특정함수에 대응해 x = f^(y)인 f^를 역함수라 말한다.
역삼각함수는 삼각함수에 대하여 대응되는 역함수이다.
즉, 삼각함수를 통해 특정한 각을 알면 두 변 사이의 삼각비를 알 수 있었는데
역삼각함수를 통해서는 삼각비를 알면 두 변 사이의 특정한 각을 알 수 있게 되는것이다.
이것(역삼각함수)을 식으로 나타내자면
특정한 각을 θ로, 그에 해당하는 삼각비를 rate로 놓았을 때
" θ = f(rate) "
즉, arcsin·arccos·arctan은 이 rate를 통해 θ를 구하는 함수인 것이다.
- arcsinθ : sinθ의 역함수
- arccosθ : cosθ의 역함수
- arctanθ : tanθ의 역함수
역함수는 그래프로 나타낼 경우 굉장히 쉽게 그려낼 수 있는데
y = x 그래프 (x가 1이면 y도 1, x가 -1이면 y도 -1) 를 그려내고
해당 그래프로부터 대칭되는 그래프를 그려내면 역함수가 된다.
- 위 그림은 sin에 대응되는 arcsin 그래프가 함께 그려진 그림이다.
알면 좋은 용어, 삼각함수를 통해 사용되는 내용들
- 시초선 : 기준이 되는 선
- 동경 : 시초선의 가장자리 꼭짓점으로부터 회전시킨 선
육십분법 : 시초선을 기준으로 1회전을 360도로 정의하는 방법
호도법 : 호의 길이로 각도(라디안)를 나타내는 방법
게임에서는 트랜스폼(Transform)이라는 기술을 사용하는데
이 트랜스폼은 크기, 회전, 이동을 순서대로 진행하는 합성 변환이다.
그 중에서 회전은 중심축을 기준으로 돌리는 행위를 말한다.
3D 게임에서의 움직임
- 물체가 움직이는 것이 아니라 물체를 담은 공간이 돌아가는 경우가 많다.
선형 조합 (LInear Combination)
(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)
평면에 속하는 모든 벡터는 표준기저(basic)벡터 (1, 0)과 (0, 1)의 선형조합으로 만들어진다.
회전 변환이 필요한 이유?
->회전으로 변환된 물체는 외형이 변하지 않는다.
-->표준기저벡터가 가지고 있던 성질을 그대로 유지시키며 변환시켜준다.
2차원 공간에서의 두 표준기저벡터는 직교하는 성질을 갖는다.
-> 단위원의 테두리 내에서 직교한 두 벡터는 표준기저벡터의 성질을 유지한 새로운 벡터라고 할 수 있다. (회전 변환의 원리)
원의 위에 한 점을 표현할 때 직교좌표계 상에서 (x, y)라는 좌표로 데이터를 표현할 수 있지만
회전의 관점에서는 기준 위치에서 얼마만큼의 각을 사용해서 회전했는지 회전한 각과 반지름을 사용해 데이터를 표현할 수 있다.
이 때, 원점으로부터 테두리에 닿는 시초선을 회전시킨 선인 동경을 빗변으로 놓고 아래로 수직으로 내려 직각이 되는 변을 높이, 직각이 되는 시초선에서 잘린 변을 밑변이라고 할 때 해당 변들의 크기를 비율로 표현한 것을 삼각비라고하고
이 삼각비에서 파생된 것이 삼각함수이다.
(0, 0)에서 표준기저벡터 (1, 0)까지 뻗은 시초선을 기준으로 θ도 만큼 회전한 동경의 경우 해당 동경이 원과 만나는 한 점을 (cosθ, sinθ)라고 할 수 있다.
참조 레퍼런스
정의역,치역,공역 : https://wikidocs.net/22396
삼각함수 : https://youtu.be/tuqarT4mUZg?si=bThizSAnM_cp3_Ao
나무위키 (삼각함수, 역삼각함수)
