https://www.acmicpc.net/problem/1753

문제

방향그래프가 주어지면 주어진 시작점에서 다른 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오. 단, 모든 간선의 가중치는 10 이하의 자연수이다.

입력

첫째 줄에 정점의 개수 V와 간선의 개수 E가 주어진다. (1 ≤ V ≤ 20,000, 1 ≤ E ≤ 300,000) 모든 정점에는 1부터 V까지 번호가 매겨져 있다고 가정한다. 둘째 줄에는 시작 정점의 번호 K(1 ≤ K ≤ V)가 주어진다. 셋째 줄부터 E개의 줄에 걸쳐 각 간선을 나타내는 세 개의 정수 (u, v, w)가 순서대로 주어진다. 이는 u에서 v로 가는 가중치 w인 간선이 존재한다는 뜻이다. u와 v는 서로 다르며 w는 10 이하의 자연수이다. 서로 다른 두 정점 사이에 여러 개의 간선이 존재할 수도 있음에 유의한다.

출력

첫째 줄부터 V개의 줄에 걸쳐, i번째 줄에 i번 정점으로의 최단 경로의 경로값을 출력한다. 시작점 자신은 0으로 출력하고, 경로가 존재하지 않는 경우에는 INF를 출력하면 된다.

예제 입출력

• 예제 입력 1

5 6
1
5 1 1
1 2 2
1 3 3
2 3 4
2 4 5
3 4 6

• 예제 출력 1

0
2
3
7
INF

Solution

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#define INF 9999999
#define MAX 200001

using namespace std;

int Dist[MAX];
vector<pair<int, int>> edge[MAX];

void Dijkstra(int Start){
    priority_queue<pair<int, int>> PQ;
    PQ.push({0, Start});
    Dist[Start] = 0;
    while(!PQ.empty()){
        int Cost = -PQ.top().first;
        int Cur = PQ.top().second;
        PQ.pop();
        if(Dist[Cur] < Cost) continue;
        for(int i = 0; i < edge[Cur].size(); i++){
            int Next = edge[Cur][i].first;
            int nCost = edge[Cur][i].second;
            if(Dist[Next] > Cost + nCost){
                Dist[Next] = Cost + nCost;
                PQ.push({-Dist[Next], Next});
            }
        }
    }
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int V, E, Start;
    cin >> V >> E >> Start;
    for(int i = 0; i < E; i++){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edge[u].push_back({v, w});
    }
    for(int i = 1; i <= V; i++) Dist[i] = INF;
    Dijkstra(Start); 
    for (int i = 1; i <= V; i++){
        if (Dist[i] == INF) cout << "INF" << '\n';
        else cout << Dist[i] << '\n';
    }
}

최단 경로를 찾는 문제는 아주 다양하게 있지만, 경로 간에 비용이 책정되어있는 경우에는 너무 당연하다는 듯이 다익스트라 알고리즘을 활용해야한다.
이번 포스팅의 주제는 Dijkstra Algorithm. 너무나 중요한 알고리즘이고 이 문제는 정말 필수 문제이므로 반드시 풀어봐야 한다.

Dijkstra Algorithm
1. 기준이 되는 노드 하나를 정한다.
2. 해당 노드 기준으로 각 노드의 최소 비용을 저장한다
3. 방문하지 않은 노드 중 가장 비용이 적은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐서 특정한 노드로 가는 경우를 고려해서 최소 비용을 갱신
5. 3과 4을 반복한다.

최소 비용을 저장한다는 말에서 우선순위 큐, 즉 Min heap을 생각해내야 했다. 이런 문제를 단순 BFS로 풀 수는 없는 법.

for(int i = 0; i < E; i++){
    int u, v, w;
    cin >> u >> v >> w;
    edge[u].push_back({v, w});
}

우선 간선들을 입력받는다. 어떻게 구현을 하든 자유지만, 편의상 pair를 활용한 vector 배열을 사용했다. tuple을 써서 src, dst, cost 세 가지 값을 저장하는 vector 를 써도 무방하다. 거기에 맞춰 코드만 바꿔주면 되니까.

for(int i = 1; i <= V; i++) Dist[i] = INF;
Dijkstra(Start); 

모든 Dist 값들을 INF, 즉 나올 수 없는 무한대 값으로 갱신 해둔다. 이 테이블에 각 노드값으로 가는 최소 비용들이 갱신될테니까.

void Dijkstra(int Start){
    priority_queue<pair<int, int>> PQ;
    PQ.push({0, Start});
    Dist[Start] = 0;
    while(!PQ.empty()){
        int Cost = -PQ.top().first;
        int Cur = PQ.top().second;
        PQ.pop();
        if(Dist[Cur] < Cost) continue;
        for(int i = 0; i < edge[Cur].size(); i++){
            int Next = edge[Cur][i].first;
            int nCost = edge[Cur][i].second;
            if(Dist[Next] > Cost + nCost){
                Dist[Next] = Cost + nCost;
                PQ.push({-Dist[Next], Next});
            }
        }
    }
}

다익스트라 알고리즘 코드는 다음과 같다. 우선순위 큐에 시작 노드 데이터 값을 저장하고 시작한다. pair에서 first는 비용, second는 노드 위치다. 기준이 되는 값의 Dist 값은 0으로 갱신 후 탐색을 시작한다.
Top의 데이터를 통해 현재 위치, 비용 값을 갱신한 후 pop 한다.

if(Dist[Cur] < Cost) continue;

현재 위치까지 Start로 가는 비용이 Cost보다 적다면? 딱히 의미는 없으니까 그냥 패스한다. 딱히 해당 노드를 통해 가야 할 필요는 없으니까.

for(int i = 0; i < edge[Cur].size(); i++){
    int Next = edge[Cur][i].first;
    int nCost = edge[Cur][i].second;
    if(Dist[Next] > Cost + nCost){
        Dist[Next] = Cost + nCost;
        PQ.push({-Dist[Next], Next});
    }
}

그 다음 Current, 즉 탐색하는 노드를 통해 갈 수 있는 모든 노드들을 탐색하며 비용을 써서 해당 노드를 통해 움직이는 게 나을 지, 그냥 가는 게 나을지를 결정한다. 만약 해당 노드를 통해 움직이는 게 비용이 적게 든다면 Dist 배열의 값을 갱신하고 해당 위치, 비용들을 우선순위큐에 갱신한다. 우선순위 큐가 다 빌때까지 해당 과정이 반복된다.

for (int i = 1; i <= V; i++){
    if (Dist[i] == INF) cout << "INF" << '\n';
    else cout << Dist[i] << '\n';
}

갈 수 없는 경로라면 따로 Dist 값이 갱신되지 않았을 것이다.

이런 식으로 특정 좌표 기준으로 어딘가로 가는 최소 비용을 구할 수 있다. 상당히 쉽지 않지만, 이 알고리즘은 정말 중요하므로 그냥 외워서라도 숙지해야 한다.