https://www.acmicpc.net/problem/2805

문제

상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.

목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.

상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 나무의 수 N과 상근이가 집으로 가져가려고 하는 나무의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

둘째 줄에는 나무의 높이가 주어진다. 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다. 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

출력

적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

예제 입출력

예제 입출력 1

• 입력

4 7
20 15 10 17

• 출력

15

예제 입출력 2

• 입력

5 20
4 42 40 26 46

• 출력

36

Solution

#include <iostream>

using namespace std;
int N;
long long M;
long long arr[1000001];

bool isPossible(int height){
    int taken = 0;
    for(int i = 0; i < N; i++){
        if(arr[i] >= height){
            taken += arr[i] - height;
        }
        if(taken >= M) return true;
    }
    return false;
}

int main(){
    cin >> N >> M;
    for(int i = 0; i < N; i++) cin >> arr[i];
    int left = 0, right = 1000000000;
    int mid, ret;
    while(left <= right){
        mid = (left + right) / 2;
        if(isPossible(mid)){
            ret = mid;
            left = mid + 1;
        }
        else{
            right = mid - 1;
        }
    }
    cout << ret << '\n';
}

우선 입력 범위를 잘 보아야 한다. 정적 언어를 문제 풀이용으로 선택 한 이상 데이터 범위에 신경을 써야 했다.
나무 하나의 최대 높이는 10억이다. 사실 long long까지 쓸 필요가 있었나...싶기는 하다. unsigned int를 써도 상관은 없었겠지만 크게 문제는 없다. 극단적으로 메모리를 아껴야 하는 상황도 아니니까.

전형적인 이분탐색 문제다.

int N;
long long M;
long long arr[1000001];

각각 데이터의 갯수, 찾고자 하는 값, 나무들이 저장되는 배열이다. Vector 와 같은 STL를 사용해도 상관이야 없었겠지만 굳이 쓰지 않아도 되는 상황에서 굳이 쓰는 건 그것대로 공부가 안 되는 것이라 판단했다. 물론 이런 문제에선 쓰든 안쓰든 시간에도 크게 영향은 없을 것이라 생각이 된다.

int main(){
    cin >> N >> M;
    for(int i = 0; i < N; i++) cin >> arr[i];
    int left = 0, right = 1000000000;
    int mid, ret;
    while(left <= right){
        mid = (left + right) / 2;
        if(isPossible(mid)){
            ret = mid;
            left = mid + 1;
        }
        else{
            right = mid - 1;
        }
    }
    cout << ret << '\n';
}

메인 함수를 살펴보자. 우선 가능한 길이의 가장 작은 값을 left, 가장 큰 값을 right라고 두었다. 이분 탐색이라는 게 반드시 어떤 자료구조 내에 데이터를 찾는 데 쓰이는 것은 아니다. 탐색이라는 게 무엇인가? 말 그대로 찾는것이다. 그게 그래프 내에서 데이터든, 그냥 찾고자 하는 값이든 말이다.

만약 선형탐색으로 이 문제를 해결하고자 했다면 어떻게 해야 했을까? 아마 가능한 나무 범위 내에서 모든 값을 때려 박아 봐야 했을 것이다. 물론 그것대로 답이 될 수는 있었겠지만, 시간이 오래 걸리지 않는가.
이제와서 하는 말이지만 right를 그냥 배열 내 최댓값으로 해결 하는 게 더 좋지않았는가 생각이 들기는 한다. 생각보다 시간은 빠르게 찍혀서 크게 문제는 없었지만 말이다.

여튼 정해 진 right, left 값을 통해 이분탐색을 한다.

while(left <= right){
    mid = (left + right) / 2;
    if(isPossible(mid)){
        ret = mid;
        left = mid + 1;
    }
    else{
        right = mid - 1;
    }
}

isPossible 함수를 통해 left, right의 중간 값 mid, 즉 그 mid 값만큼 나무를 잘랐을 때 M 이상의 나무를 확보할 수 있다면 우선 mid값을 저장한다. 최종적으로 찾아지는 값이 확실한 값이기 때문에 탐색을 멈추지는 않는다.
다시 그 mid값 기준으로 left, right를 각각 갱신을 하고 가능한 값들을 찾는다. 가장 마지막에 찾아지는 값이 가장 최적의 값이니 left <= right 상황이 될 때 까지 반복한다.

bool isPossible(int height){
    int taken = 0;
    for(int i = 0; i < N; i++){
        if(arr[i] >= height){
            taken += arr[i] - height;
        }
        if(taken >= M) return true;
    }
    return false;
}

이분 탐색 상황에서 계산 된 mid값을 통해 그 값만큼 배열에 저장되어있는 나무들 길이 - mid 값을 더해본다. 즉 mid 길이만큼 나무들을 잘랐을 때의 상황을 본다는 것이다. 그 값들이 M값 보다 크거나 같다, 즉 M 이상의 나무를 확보할 수 있다면 true를 리턴.

문제 자체는 어렵지않다. 이분 탐색 연습용 문제로 정말 좋은 문제라고 생각한다.