https://www.acmicpc.net/problem/4485

문제

젤다의 전설 게임에서 화폐의 단위는 루피(rupee)다. 그런데 간혹 '도둑루피'라 불리는 검정색 루피도 존재하는데, 이걸 획득하면 오히려 소지한 루피가 감소하게 된다!

젤다의 전설 시리즈의 주인공, 링크는 지금 도둑루피만 가득한 N x N 크기의 동굴의 제일 왼쪽 위에 있다. [0][0]번 칸이기도 하다. 왜 이런 곳에 들어왔냐고 묻는다면 밖에서 사람들이 자꾸 "젤다의 전설에 나오는 녹색 애가 젤다지?"라고 물어봤기 때문이다. 링크가 녹색 옷을 입은 주인공이고 젤다는 그냥 잡혀있는 공주인데, 게임 타이틀에 젤다가 나와있다고 자꾸 사람들이 이렇게 착각하니까 정신병에 걸릴 위기에 놓인 것이다.

하여튼 젤다...아니 링크는 이 동굴의 반대편 출구, 제일 오른쪽 아래 칸인 [N-1][N-1]까지 이동해야 한다. 동굴의 각 칸마다 도둑루피가 있는데, 이 칸을 지나면 해당 도둑루피의 크기만큼 소지금을 잃게 된다. 링크는 잃는 금액을 최소로 하여 동굴 건너편까지 이동해야 하며, 한 번에 상하좌우 인접한 곳으로 1칸씩 이동할 수 있다.

링크가 잃을 수밖에 없는 최소 금액은 얼마일까?

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다.

각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 동굴의 크기를 나타내는 정수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 125) N = 0인 입력이 주어지면 전체 입력이 종료된다.

이어서 N개의 줄에 걸쳐 동굴의 각 칸에 있는 도둑루피의 크기가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. 도둑루피의 크기가 k면 이 칸을 지나면 k루피를 잃는다는 뜻이다. 여기서 주어지는 모든 정수는 0 이상 9 이하인 한 자리 수다.

출력

각 테스트 케이스마다 한 줄에 걸쳐 정답을 형식에 맞춰서 출력한다. 형식은 예제 출력을 참고하시오.

예제 입출력

• 예제 입력 1

3
5 5 4
3 9 1
3 2 7
5
3 7 2 0 1
2 8 0 9 1
1 2 1 8 1
9 8 9 2 0
3 6 5 1 5
7
9 0 5 1 1 5 3
4 1 2 1 6 5 3
0 7 6 1 6 8 5
1 1 7 8 3 2 3
9 4 0 7 6 4 1
5 8 3 2 4 8 3
7 4 8 4 8 3 4
0

• 예제 출력 1

Problem 1: 20
Problem 2: 19
Problem 3: 36

Solution

1. BFS

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#define MAX 126
#define INF 9876543
using namespace std;

int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
int MATRIX[MAX][MAX];
int Visit[MAX][MAX];

void initSet(){
    for(int i = 0; i < MAX; i++) memset(MATRIX[i], 0, sizeof(MATRIX[i]));
    for(int i = 0; i < MAX; i++) memset(Visit[i], INF, sizeof(Visit[i]));
}

int BFS(int N){
    queue<pair<int, int>> Q;
    Visit[1][1] = MATRIX[1][1];
    Q.push({1, 1});
    while(!Q.empty()){
        int X = Q.front().first;
        int Y = Q.front().second;
        Q.pop();
        for(int i = 0; i < 4; i++){
            int nx = X + dx[i];
            int ny = Y + dy[i];
            if(nx > 0 && nx <= N && ny > 0 && ny <= N){
                if(Visit[nx][ny] > Visit[X][Y] + MATRIX[nx][ny]){
                    Visit[nx][ny] = Visit[X][Y] + MATRIX[nx][ny];
                    Q.push({nx, ny});
                }
            }
        }
    }
    return Visit[N][N];
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int N;
    int testCase = 1;
    while(testCase++){
        initSet();
        cin >> N;
        if(N == 0) break;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 1; j <= N; j++) cin >> MATRIX[i][j];
        }
        int result = BFS(N);
        cout << "Problem " << testCase-1 << ": " << result << '\n';
    }
}

BFS로 풀이하는 방법은 흔히 알고있는 BFS 방법과 같다. 단, 가능하면 적은 비용을 사용해야 하기 때문에 무작정 탐색을 할게 아니라 탐색하고자 하는 방향으로 갔을 때 손해인지 이득인지를 확인해야 한다.

for(int i = 0; i < 4; i++){
    int nx = X + dx[i];
    int ny = Y + dy[i];
    if(nx > 0 && nx <= N && ny > 0 && ny <= N){
        if(Visit[nx][ny] > Visit[X][Y] + MATRIX[nx][ny]){
            Visit[nx][ny] = Visit[X][Y] + MATRIX[nx][ny];
            Q.push({nx, ny});
        }
    }
}

Visit 배열은 보통 Boolean 데이터로 처리한다. 이번에는 그렇게 처리하지 않고 모든 데이터에 INF라는 데이터를 입력해두었다. 즉 나올 수 없는 최댓 값 데이터를 미리 저장해두었단 소리다.
처음에는 네 방향 중에 최솟값을 찾아서 움직이는 방법을 선택했으나 문제점이 있었다. 정말 여러가지 경우가 있을 수 있는데 이렇게 처리하면 다양한 경우를 확인할 수 있지 않을거란 생각이 들었다.

또한 for문이 두번 돌게 된다. 코드가 쓸데없이 복잡해진다. 그러므로 현재 가려고 하는 방향으로 움직였을 때 비용을 지불하면서 이동하는 게 옳은가 판단하기 위해 조건문을 넣어주었다.

그러면 다시 해당 위치를 가게 되는 상황임에도 조건을 확인했을 때 맞지않으면 움직이지 않을 것이다.

2. Dijkstra

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#define MAX 126
#define INF 9876543
using namespace std;

int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
int MATRIX[MAX][MAX];
int Dist[MAX][MAX];

void initSet(){
    for(int i = 0; i < MAX; i++) memset(MATRIX[i], 0, sizeof(MATRIX[i]));
    for(int i = 0; i < MAX; i++) memset(Dist[i], INF, sizeof(Dist[i]));
}

int Dijkstra(int N){
    priority_queue<pair<int, pair<int, int>>> PQ;
    Dist[1][1] = MATRIX[1][1];
    PQ.push({-Dist[1][1], {1, 1}});
    while(!PQ.empty()){
        int Cost = -PQ.top().first;
        int X = PQ.top().second.first;
        int Y = PQ.top().second.second;
        PQ.pop();
        for(int i = 0; i < 4; i++){
            int nx = X + dx[i];
            int ny = Y + dy[i];
            if(nx > 0 && nx <= N && ny > 0 && ny <= N){
                if(Dist[nx][ny] > MATRIX[nx][ny] + Cost){
                    Dist[nx][ny] = MATRIX[nx][ny] + Cost;
                    PQ.push({-Dist[nx][ny], {nx, ny}});
                }
            }
        }
    }
    return Dist[N][N];
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int N;
    int testCase = 1;
    while(testCase++){
        initSet();
        cin >> N;
        if(N == 0) break;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 1; j <= N; j++) cin >> MATRIX[i][j];
        }
        int result = Dijkstra(N);
        cout << "Problem " << testCase-1 << ": " << result << '\n';
    }
}

사실 이 문제는 전형적인 다익스트라 알고리즘 문제다. 최소 비용, 그리고 비용의 단위가 0을 포함한 양수라면 다익스트라 라는 키워드가 떠올라야 한다. 상황에 따라 이걸 쓸 수 있을 지 없을 지는 다르겠지만 여러가지 선택지 중 하나로 둘 수 있을테니까.

int Dijkstra(int N){
    priority_queue<pair<int, pair<int, int>>> PQ;
    Dist[1][1] = MATRIX[1][1];
    PQ.push({-Dist[1][1], {1, 1}});
    while(!PQ.empty()){
        int Cost = -PQ.top().first;
        int X = PQ.top().second.first;
        int Y = PQ.top().second.second;
        PQ.pop();
        for(int i = 0; i < 4; i++){
            int nx = X + dx[i];
            int ny = Y + dy[i];
            if(nx > 0 && nx <= N && ny > 0 && ny <= N){
                if(Dist[nx][ny] > MATRIX[nx][ny] + Cost){
                    Dist[nx][ny] = MATRIX[nx][ny] + Cost;
                    PQ.push({-Dist[nx][ny], {nx, ny}});
                }
            }
        }
    }
    return Dist[N][N];
}

Priority Queue 가 우선순위를 Dist에 잡을 수 있도록 PQ에 Push할 때 Dist 데이터에 음수를 취한다. 그 후로는 우리가 알고있는 Dijkstra 알고리즘과 같다. 2차원 배열에 Dist를 처리할 뿐.

사실 처음에 이렇게 해야 하나 싶어서 고민하다가 BFS로 풀고 Dijkstra로 다시 풀어보았다. 어쨌든 1차원이든 2차원이든 N까지의 경로로 가는 최소 비용을 구하는 문제인데 Dijkstra로 충분히 풀 수 있다.