벡터와 스칼라 값의 차이는 벡터는 방향성을 가진다는 것이다. 때문에 대수적 성질을 적용함에 있어 새로운 벡터체계의 사칙연산 정의가 필요하다.

벡터의 덧셈 뺄셈

일반적으로 벡터의 합과 차는 평행사변형 법과 삼각형 법을 사용하여 구한다.

위 그림처럼 a벡터와 b벡터의 합을 평행사변형이나 삼각형을 그려서 구할 수 있다.

단순히 도형이 아니라 한 벡터의 끝점에 다른 벡터의 시작점을 배치함으로서 구하는 것으로 볼 수 있다.(다수의 벡터합을 구하거나 고차원 벡터공간에선 이 방법으로 구한다.)

벡터의 곱셈

벡터곱/외적(cross product)

외적은 해당 식과 같이 구하며 'a x b' 로 표기한다. 결과값은 벡터이며 n^기호는 n헷이라고 하며 a b 벡터에 수직인 단위벡터이다. 벡터에 절댓값을 씌우면 스칼라 값 즉 벡터의 크기만을 계산하게 된다.

이를 기하학적으로 보면 n^은 단위벡터이기 때문에 스칼라와 곱했을 때 방향성만을 가르킨다. 이때 n^의 오른쪽 식은 모두 스칼라임을 알 수 있는데 계산해보면 a벡터와 b벡터가 이루는 평행사변형이다. 따라서 외적의 크기는 a와 b벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이며 방향은 이 평행사변형에 수직인 방향이 된다.(벡터에서 평면에 대한 방향은 그에 수직인 방향으로 정의한다.)

스칼라곱/내적(dot product)

• 좌표계 정의로는 두 벡터의 각 원소간 곱의 합이다.
  

• 기하학적 정의의 내적은 결과를 스칼라로 뽑기위해 사영을 거치게 된다.
  
  한 벡터를 다른 벡터에 사영해 방향을 같게 해주고 곱한 벡터의 크기를 결과로 가진다.
  

두 정의의 결과가 같다는 것은 코사인 법칙을 활용한 증명을 통해 알 수 있다.