벡터공간(Vector Space)

딥러닝에서는 선형대수학이 많이 쓰입니다. 딥러닝을 공부하는 학생으로서 선형대수에 대한 수학적 기반을 다지기 위해서 정의들을 다시 한 번 살펴보고 공부하기로 마음먹었습니다.

먼저 벡터공간은 선형대수학의 가장 기본적인 개념 중 하나로, 벡터라고 부르는 원소들의 집합에 대해 두 가지 연산 (벡터 덧셈과 스칼라 곱셈)이 정의되어 있으며, 이 연산들이 특정 공리들을 만족하는 구조를 말합니다. 보다 구체적으로 설명하면 다음과 같습니다.

1. 벡터공간의 정의

벡터공간 (또는 선형공간)은 다음의 두 구성 요소로 이루어집니다.

• 집합 $V$: 벡터라고 부르는 원소들의 모임
• 필드 $F$: 스칼라라고 부르는 숫자들이 속한 체계 (일반적으로 실수 $\mathbb{R}$나 복소수 $\mathbb{C}$ 등이 사용됨)

이때, 벡터공간 $V$는 아래와 같이 두 연산이 정의되어 있어야 합니다.

1. 벡터 덧셈: 임의의 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해, $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 또한 $V$의 원소여야 합니다.
2. 스칼라 곱셈: 임의의 스칼라 $a \in F$와 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대해, $a\mathbf{v}$ 역시 $V$의 원소여야 합니다.

2. 벡터공간이 만족해야 하는 공리들

벡터공간이 되기 위해서는 위의 두 연산이 다음과 같은 공리들을 만족해야 합니다.

(1) 벡터 덧셈에 관한 공리

• 닫힘성: 모든 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$.
• 교환법칙: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$.
• 결합법칙: $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ (모든 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$).
• 덧셈의 항등원 존재: $\mathbf{0} \in V$가 존재하여, 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해 $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$.
• 덧셈의 역원 존재: 각 $\mathbf{v} \in V$에 대해 $-\mathbf{v} \in V$가 존재하여, $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$.

(2) 스칼라 곱셈에 관한 공리

• 닫힘성: 모든 $a \in F$와 $\mathbf{v} \in V$에 대해 $a\mathbf{v} \in V$.
• 스칼라 곱셈의 결합법칙: $(ab)\mathbf{v} = a(b\mathbf{v})$ (모든 $a, b \in F$와 $\mathbf{v} \in V$).
• 스칼라 곱셈의 항등원: $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ (여기서 $1$은 $F$의 곱셈 항등원).
• 분배법칙 (벡터에 대해): $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$ (모든 $a \in F$와 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$).
• 분배법칙 (스칼라에 대해): $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$ (모든 $a, b \in F$와 $\mathbf{v} \in V$).

다음은 선형변환 대해 공부해보겠습니다.