[나만 보는 정리노트] 푸리에 해석

!!주의!! 푸리에 변환을 거의 이해하지 못한 사람의 발버둥입니다. 전혀 정확하지 않습니다. 오류가 매우 많습니다. 남들한테 보여주려고 업로드한 글이 아닙니다.

1. 조지프 푸리에 : 내가 열역학 좀 해보는데 여기서 주기적 신호를 삼각함수들의 합으로 분리해서 나타내면 편리할 것 같은데?

   이것이 성립하는 이유는 $\sin nx$와 $\cos nx$가 각각 직교 기저이기 때문이다.
   이것이 무슨 말인고 하니 $\displaystyle\int ^b _a \sin mx \times \cos nxdx=0, \displaystyle\int ^b _a \cos mx \times \cos nxdx=0, \displaystyle\int ^b _a \sin mx \times \sin nxdx=0$이 성립한다는 것이다. (단 2, 3번 식은 $m\not= n$일 때 성립한다.)

   삼각함수의 합 공식에 따라 삼각함수의 곱을 합으로 나타냄으로써 증명할 수 있다. 주기가 다른 삼각함수들의 합의 최소 주기는 주기들의 최소공배수이다.

   따라서 어떤 주기함수 $f(x)$를 $\sin , \cos$들의 합으로 나타낼 수 있다.
   

2. 푸리에 급수식
   이쯤와서 푸리에 급수식을 보자면 다음과 같다.
   $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infin}({a_k\sin kx +b_k \cos kx})$
   $\sin kx$는 주기가 $2\pi$의 $\displaystyle\frac{1}{k}$배인 정현파이다.
   그렇다면 $a_n, b_n$의 정체만 안다면 푸리에 급수식을 파악할 수 있을 것이다.

   $a_n, b_n$은 각 $\sin$파와 $\cos$파가 $f(x)$에 얼마나 들어가 있는지를 판단하는 기호이다. 따라서 $a_k:=\displaystyle\frac{<f(x),\sin kx>}{||\sin ^2kx||}=\frac{2}{T}\int ^T _0{f(x) \sin kx dx}$, $b_k:=\displaystyle\frac{<f(x),\cos kx>}{||\cos ^2kx||}=\frac{2}{T}\int ^T _0{f(x) \cos kx dx}$
   $||\sin^2kx||, ||\cos^2kx||$는 내적 구간에서 여러 주기에 걸쳐 반복되는 $\sin, \cos$으로 인한 노이즈를 없애는 정규화를 위한 상수이다. 계산할 시 $k$에 관계없이 $\displaystyle\frac{2}{T}$가 나온다.

3. 복소지수함수를 이용한 표현
   $e^{ix}=\cos x +i\sin x$임을 모두가 알 것이다.
   따라서 $e^{-ix}=\cos x - i\sin x$
   두 식을 정리하면 $\cos x=\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \sin x=\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
   푸리에 급수식에 대입하면
   $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infin}{a_k\displaystyle\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}+b_k\displaystyle\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}}$
   $\displaystyle=\sum^\infin_{k=0}{\frac{e^{ikx}(a_k-ib_k)+e^{-ikx}(a_k+ib_k)}{2}}$
   $a_n=\displaystyle\frac{2}{T}\int ^T _0{f(x) \sin kx dx}=\frac{1}{i}\cdot\frac{1}{T}\int^T_0{f(x)(e^{ikx}-ie^{-ikx})dx}$
   $ia_n=\displaystyle\frac{1}{T}\int^T_0{f(x)(e^{ikx}-e^{-ikx})dx}$
   똑같은 방법으로
   $b_n=\displaystyle\frac{1}{T}\int^T_0{f(x)(e^{ikx}+e^{-ikx})dx}$
   즉 $ia_n=-ia_{-n}, b_n=b_{-n}$
   $f(x)\displaystyle=\sum^\infin_{k=0}{\frac{e^{ikx}(-ia_k+b_k)+e^{-ikx}(ia_k+b_k)}{2}}$
   $=\displaystyle\sum^\infin_{k=-\infin}{\frac{b_k-ia_k}{2}e^{ikx}}$

   보기 편하게 $C_k=\displaystyle\frac{b_k-ia_k}{2}=\frac{1}{T}\int^T_0f(t)(\cos kt - i\sin kt)dt=\frac{1}{T}\int^T_0f(t)e^{-ikt}dt$로 바꾸면
   $f(x)=\displaystyle\sum^\infin_{n=-\infin}C_ne^{inx}$
   우리가 원하는 주파수대는 정수 주파수대이므로 $\omega =\displaystyle\frac{2\pi}{T}$를 지수에 곱해 정수 주파수로 변경해주면

   $f(x)=\displaystyle\sum^\infin_{n=-\infin}C_ne^{in\omega x}$ $(\displaystyle C_n=\frac{1}{T}\int^T_0f(t)e^{-in\omega t}dt)$

   이것으로 모든 주기함수들을 가장 깔끔한 형태로 표현할 수 있는 식이 완성됐다.

4. 푸리에 변환의 유도
   여기서 주기를 $\infin$로 보내 비주기 신호 역시 주파수 대역으로 분해하는 것이 푸리에 변환이다. $\displaystyle\lim_{T\rarr \infin}{C_n}=\lim_{T\rarr \infin}\frac{1}{T}\int^\infin_{-\infin}f(t)e^{-i2\pi ft}dt$
   $h(x)=\displaystyle\sum^\infin_{n=-\infin}C_ne^{in\omega x}=\displaystyle\sum^\infin_{n=-\infin}(\lim_{T\rarr \infin}\frac{1}{T}\int^\infin_{-\infin}h(t)e^{-in\omega t}dt)e^{in\omega x}$
   $H(f):=\displaystyle\int^\infin_{-\infin}h(t)e^{-i2\pi ft}dt$로 하면

   $h(t)=\displaystyle\lim_{T\rarr \infin}\sum^\infin_{n=-\infin}{\frac{1}{T}H(f)e^{i2\pi ft}}$
   $=\displaystyle\lim_{f\rarr 0}\sum^\infin_{n=-\infin}{fH(f)e^{i2\pi ft}}$
   $\displaystyle =\int^\infin_{-\infin}H(f)e^{i2\pi ft}df$