[나만 보는 정리노트] Σ1/n^2의 증명

전제가 되는 지식 : 테일러 급수, 근과 계수와의 관계

모든 자연수 $N$에 대하여 $N^2>N^2-N$이므로 $\frac{1}{N^2}<\frac{1}{N^2-N}$이다.

$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infin}{\frac{1}{n^2-n}}=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infin}{\frac{1}{n(n-1)}}=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infin}{(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})}=1$이므로 $0<\displaystyle\sum_{n=2}^{\infin}{\frac{1}{n^2}}\leq1,$ 즉 $1<\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}{\frac{1}{n^2}}\leq2$이다.

$\displaystyle\sum_{n=2}^{N}{\frac{1}{n^2}}$은 $N$이 증가함에 따라 같이 증가하는 단조 증가 수열이고, 그 범위가 정해졌으므로 $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infin}{\frac{1}{n^2}}$은 수렴한다.

테일러 급수 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)^n}}$에 따라서

$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...$이다.

$p=n\pi$ ($n$은 자연수) 라고 하고 $\sin(x)$에 $p$를 대입해보면
$0=p-\frac{p^3}{3!}+...$

양변을 $p$로 나누면 $0=1-\frac{p^2}{3!}+...$
$t=p^2$이라고 한다면 $0=1-\frac{t}{3!}+...$

위 $t$에 대한 방정식의 해를 $t_1, t_2, t_3, ...$으로 뒀을 때

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}{\frac{1}{t_n}}=\frac{t_2t_3t_4...+t_1t_3t_4+...}{t_1t_2t_3t_4...}$인데, 비에트의 정리(근과 계수와의 관계)에 따라서 $n$차방정식의 해 중 $k$개를 선택해서 곱한 것의 총합은 $(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$ $(a_n$은 $n$차항의 계수$)$이므로 $k$에 $n-1$과 $n$을 각각 대입해서 나누면 $\frac{a_1}{a_0}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}$이 나오고, 이는 주어진 급수의 합이다.

한편, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}{\frac{1}{t_n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}{\frac{1}{n^2\pi^2}}=\frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}$