[다이나믹 프로그래밍] 중복되는 연산을 줄이자

연두·2021년 6월 27일

다이나믹프로그래밍 알고리즘

이코테

목록 보기

9/9

알아보기 전에 - 피보나치 수열

다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 대표적인 예시로 피보나치 수열이 있다.

※ 피보나치 수열
이전 두 항의 합을 현재의 항으로 설정하는 수열
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ·····

프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트로 표현할 수 있다.

- 피보나치 함수를 재귀 함수로 구현한 소스코드

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))

하지만 위 소스코드는 n이 커지면 커질수록 수행 시간이 기하급수적으로 늘어난다는 치명적인 문제가 있다.
이런 문제를 다이나믹 프로그래밍을 사용해 효율적으로 해결한다.

다이나믹 프로그래밍 사용 조건

큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다. (최적 부분 구조)
작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다. (중복되는 부분 문제)

다이나믹 프로그래밍에는 탑다운(Top-Down) 방식과 보텀업(Bottom-Up) 방식이 있다.

1. 탑다운 (Top-Down) 방식

재귀함수를 이용
큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출

메모이제이션(Memoization) 기법

한 번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법 (Caching)

- 탑 다운 방식을 사용한 피보나치 수열 소스코드

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

재귀함수를 사용하면 오버헤드가 발생할 수 있다. 따라서 재귀 함수 대신에 반복문을 사용하여 오버헤드를 줄일 수 있다.

2. 보텀업 (Bottom-Up) 방식

반복문을 이용
작은 문제부터 차근차근 답을 도출

- 보텀업 방식을 사용한 피보나치 수열 소스코드

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]

print(d[n])