유한 군과 군의 위수
- 유한 군(finite group): 유한개의 원소를 갖는 군
- 무한 군(infinite group): 무한개의 원소를 갖는 군
- 군의 위수(order): 군에 포함되어 있는 원소의 개수로 |G|로 표기
부분 군(Subgroup)
- 정의: 군 G의 부분집합 H가 G에서의 연산에 대하여 그 자신이 군이 될 때, 부분집합 H는 군 G에 대한 부분 군임
- 만약 G = <Set, o>가 군이고, T는 Set의 공집합이 아닌 부분 집합이라고 할 때,
- H = <T, o>가 같은 연산에 대해 군이 된다면 H는 G의 부분 군임.
- 특징
- 만약 a, b가 두 군의 원소라면,c = a o b는 또한 두 군의 원소임
- 군과 부분 군은 같은 항등원을 가짐 (같은 연산이기 때문)
- a가 두 군의 원소라면 a의 역원 또한 두 군의 원소임 (같은 연산이기 때문)
- G의 항등원으로 만들어진 군 H = < {e}, o>는 G의 부분 군임
- 각각의 군은 그 자신의 부분 군임 (T ⊆ Set)
Group G = <Set, o>
if Group H = <T, o>
- T ⊆ Set and
- T != ∅
-> H = SubGroup of G
ex) 군 H = <Z10, +>는 군 G = <Z12, +>의 부분 군인가?
Nope!
- 비록 H가 G의 부분 집합이지만, 두 군들에 대해 정의된 연산이 다름
- H의 연산은 mod 10에서의 덧셈 연산
- G의 연산은 mod 12에서의 덧셈 연산
군 H = <Z10, +>: 덧셈 연산 이후 mod 10 연산 수행
군 G = <Z12, +>: 덧셈 연산 이후 mod 12 연산 수행
치환 군(Permutation group)
Permutation: 순열
cf) Combination: 조합
- 군에서 집합의 원소들이 반드시 숫자일 필요 없음
- 규칙, 대응, 함수, 행동 등 -> 군의 집합에 대한 원소로 사용 가능함
- 치환 군: 모든 치환(permutation)을 모아 놓은 집합
- 이 집합에 정의된 연산은 두 치환의 합성
- 합성이란? 하나의 치환을 수행한 뒤에 다음 치환을 수행하는 연산
ex) 세 개의 입력 값을 치환해 세 개의 값을 출력하는 치환 합성 연산
- 상기 합성함수의 수식은 오른쪽에서 왼쪽 순서로 계산됨
-
치환 군 성질
- 연산에 대해 닫혀있음
- 결합 법칙이 성립함
- 항등원을 가짐 ([1, 2, 3] -> 즉 치환한 결과가 그대로인 연산)
- 각 원소는 역원을 가짐
- 교환 법칙을 만족하지 않음 -> 따라서 치환 군은 아벨 군(가환 군)이 아님
아벨 군(가환 군): 일반적인 군이면서 교환 법칙이 성립함
