[알고리즘] 위상 정렬(Topology Sorting)

안수진·2024년 5월 18일

Algorithm

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📌 위상 정렬

사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?

자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘 (O)
자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘 (X)

🔗 백준 예제 2252번 - 줄 세우기

그래프 개념

진입 차수(Indegree)
특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
진출 차수(Outdegree)
특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

✨ 알고리즘 동작 과정

진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다.
이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 한다.

만약 사이클이 존재한다면 그 사이클에 포함되어 있는 모든 노드는 진입 차수가 1 이상이 된다.
따라서 사이클에 포함되어 있는 모든 노드들은 큐에 들어갈 수 없기 때문에 위상 정렬을 수행할 수 없게 된다.

여러개의 노드가 한번에 큐에 들어갈 수 있는데 이 경우 어떤 순서대로 큐에 넣어도 상관 없지만,
여기서는 더 작은 번호의 노드가 큐에 먼저 들어간다고 가정하자.

위상 정렬 결과

큐에 삽입된 전체 노드 순서
1 → 2 → 5 → 3 → 6 → 4 → 7

✅ 위상 정렬의 특징

위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
위상 정렬에는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

👩🏻‍💻 위상 정렬 알고리즘 구현

import java.util.*;

public class Main {

    // 노드의 개수(V)와 간선의 개수(E)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int v, e;
    // 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
    public static int[] indegree = new int[100001];
    // 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
    public static ArrayList<ArrayList<Integer>> graph = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();

    // 위상 정렬 함수
    public static void topologySort() {
        ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>(); // 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
        Queue<Integer> q = new LinkedList<>(); // 큐 라이브러리 사용

        // 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            if (indegree[i] == 0) {
                q.offer(i);
            }
        }

        // 큐가 빌 때까지 반복
        while (!q.isEmpty()) {
            // 큐에서 원소 꺼내기
            int now = q.poll();
            result.add(now);
            // 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
                indegree[graph.get(now).get(i)] -= 1;
                // 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
                if (indegree[graph.get(now).get(i)] == 0) {
                    q.offer(graph.get(now).get(i));
                }
            }
        }

        // 위상 정렬을 수행한 결과 출력
        for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
            System.out.print(result.get(i) + " ");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        v = sc.nextInt();
        e = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= v; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Integer>());
        }

        // 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            graph.get(a).add(b); // 정점 A에서 B로 이동 가능
            // 진입 차수를 1 증가
            indegree[b] += 1;
        }

        topologySort();
    }
}