9. 행렬식의 성질

김재희·2021년 9월 2일
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Linear Algebra

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행렬식을 실제로 사용할 때 필요한 다양한 성질을 다뤄보도록 하자.

이전에 다룬 내용을 잠시 정리하자면 다음과 같다.

  1. det(I)=1det(I) = 1
  2. 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱과 같다.
  3. 행렬에 기본행연산을 가하는 것은 기본행연산을 가한 상태의 항등행렬을 해당 행렬에 곱하는 것과 같다.
  4. II의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 기본행렬 EE의 행렬식은 det(E)=1det(E) = -1
  5. II의 한 행에 0이 아닌 스칼라 kk를 곱하여 얻은 기본행렬 EE의 행렬식은 det(E)=kdet(E) = k
  6. II의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 기본행렬 EE의 행렬식은 det(E)=1det(E) = 1

그런데 기본행렬 AA와 어떤 행렬 BB를 곱하는 것은 BB에 기본행연산을 가하는 것과 같다. 이는 자연스레 다음 정리로 이어지게 된다.

정리 1. 임의의 A,BMn×n(F)A, B \in M_{n \times n}(F)에 대하여 det(AB)=det(A)det(B)det(AB) = det(A) \cdot det(B)이다.

증명
만약 AA가 기본행렬일 경우 자명하게 성립되므로 따로 증명하지 않겠다. 하지만 A,BA, B가 모두 기본행렬이 아닐 경우를 증명해보자.

만약 rank(A)=nrank(A) = n이면 AA는 가역행렬이고, 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, A=EmE1A = E_m \dots E_1이다.

det(AB)=det(EmE2E1B)=det(Em)det(E2)det(E1)det(B)=det(EmE2E1)det(B)=det(A)det(B)\begin{aligned} \displaystyle det(AB) &= det(E_m \dots E_2E_1B)\\ &= det(E_m) \dots det(E_2) \cdot det(E_1) \cdot det(B)\\ &= det(E_m \dots E_2E_1)\cdot det(B) \\ &= det(A) \cdot det(B) \end{aligned}

여기서 따름정리가 하나 나오게 되는데, 다음과 같다.

따름정리 1. 행렬 AMn×n(F)A \in M_{n \times n}(F)가 가역이기 위한 필요충분조건은 det(A)0det(A) \neq 0이다. 또한, AA가 가역이라면 det(A1)=1det(A)det(A^{-1}) = {1 \over det(A)}이다.

증명
첫문장은 이전에 증명을 했기 때문에 새로울 것이 없지만, 역행렬의 행렬식을 손쉽게 구할 수 있다는 점은 증명할 필요가 있다. 이는 다음과 같이 쉽게 증명이 가능하다.

I=AA1det(I)=det(AA1)1=det(A)det(A1)det(A1)=1det(A)\begin{aligned} \displaystyle I &= AA^{-1}\\ det(I) &= det(AA^{-1})\\ 1 &= det(A)det(A^{-1}) \\ det(A^{-1}) &= {1 \over det(A)} \end{aligned}

역행렬에 대한 행렬식의 성질을 알았다면 자연스레 전치행렬이 관심이 옮겨가게 된다. 전치행렬에 대해서는 다음과 같은 관계가 성립한다.

정리 2. 임의의 AMn×n(F)A \in M_{n \times n}(F)에 대하여 det(At)=det(A)det(A^t) = det(A)이다.

증명
이는 AA가 가역행렬일 때와 아닐 때로 구분하여 증명해보일 수 있다.

(1) AA가 가역행렬이 아니라면, rank(A)<nrank(A) < n이다. rank(A)=rank(At)rank(A) = rank(A^t)이므로, AtA^t 역시 가역행렬이 아니다. 즉, det(A)=0=det(At)det(A) = 0 = det(A^t)이 된다.

(2) AA가 가역행렬이면, A=EmE2E1A = E_m \dots E_2E1으로 표현이 가능하다. 이때, det(Ei)=det(Eit)det(E_i) = det(E_i^t)이므로 다음과 같은 전개가 가능하다.

det(At)=det(EmtE2tE1t)=det(Emt)det(E2t)det(E1t)=det(Em)det(E2)det(E1)=det(EmE2E1)=det(A)\begin{aligned} \displaystyle det(A^t) &= det(E_m^t \dots E_2^tE_1^t)\\ &= det(E_m^t) \dots det(E_2^t) \cdot det(E_1^t)\\ &= det(E_m) \dots det(E_2) \cdot det(E_1)\\ &= det(E_m \dots E_2 E_1)\\ &= det(A) \end{aligned}

즉, 어떤 가역행렬 AA에 대하여 det(A)=det(At)det(A) = det(A^t)이다. 이는 기본행연산에 대한 행렬식의 성질이 기본열연산에도 동일하게 적용가능하다는 것을 의미하게 된다.

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