행렬식을 실제로 사용할 때 필요한 다양한 성질을 다뤄보도록 하자.
이전에 다룬 내용을 잠시 정리하자면 다음과 같다.
- det(I)=1
- 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱과 같다.
- 행렬에 기본행연산을 가하는 것은 기본행연산을 가한 상태의 항등행렬을 해당 행렬에 곱하는 것과 같다.
- I의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 기본행렬 E의 행렬식은 det(E)=−1
- I의 한 행에 0이 아닌 스칼라 k를 곱하여 얻은 기본행렬 E의 행렬식은 det(E)=k
- I의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 기본행렬 E의 행렬식은 det(E)=1
그런데 기본행렬 A와 어떤 행렬 B를 곱하는 것은 B에 기본행연산을 가하는 것과 같다. 이는 자연스레 다음 정리로 이어지게 된다.
정리 1. 임의의 A,B∈Mn×n(F)에 대하여 det(AB)=det(A)⋅det(B)이다.
증명
만약 A가 기본행렬일 경우 자명하게 성립되므로 따로 증명하지 않겠다. 하지만 A,B가 모두 기본행렬이 아닐 경우를 증명해보자.
만약 rank(A)=n이면 A는 가역행렬이고, 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, A=Em…E1이다.
det(AB)=det(Em…E2E1B)=det(Em)…det(E2)⋅det(E1)⋅det(B)=det(Em…E2E1)⋅det(B)=det(A)⋅det(B)
여기서 따름정리가 하나 나오게 되는데, 다음과 같다.
따름정리 1. 행렬 A∈Mn×n(F)가 가역이기 위한 필요충분조건은 det(A)=0이다. 또한, A가 가역이라면 det(A−1)=det(A)1이다.
증명
첫문장은 이전에 증명을 했기 때문에 새로울 것이 없지만, 역행렬의 행렬식을 손쉽게 구할 수 있다는 점은 증명할 필요가 있다. 이는 다음과 같이 쉽게 증명이 가능하다.
Idet(I)1det(A−1)=AA−1=det(AA−1)=det(A)det(A−1)=det(A)1
역행렬에 대한 행렬식의 성질을 알았다면 자연스레 전치행렬이 관심이 옮겨가게 된다. 전치행렬에 대해서는 다음과 같은 관계가 성립한다.
정리 2. 임의의 A∈Mn×n(F)에 대하여 det(At)=det(A)이다.
증명
이는 A가 가역행렬일 때와 아닐 때로 구분하여 증명해보일 수 있다.
(1) A가 가역행렬이 아니라면, rank(A)<n이다. rank(A)=rank(At)이므로, At 역시 가역행렬이 아니다. 즉, det(A)=0=det(At)이 된다.
(2) A가 가역행렬이면, A=Em…E2E1으로 표현이 가능하다. 이때, det(Ei)=det(Eit)이므로 다음과 같은 전개가 가능하다.
det(At)=det(Emt…E2tE1t)=det(Emt)…det(E2t)⋅det(E1t)=det(Em)…det(E2)⋅det(E1)=det(Em…E2E1)=det(A)
즉, 어떤 가역행렬 A에 대하여 det(A)=det(At)이다. 이는 기본행연산에 대한 행렬식의 성질이 기본열연산에도 동일하게 적용가능하다는 것을 의미하게 된다.