[선형대수] 1. Solving Systems of Linear Equations

Linear equation

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$ 형태.

System of linear equation(linear system)

$\begin{cases} x_1-2x_2=-1\\ -x_1+3x_2=3 \end{cases}$

이때 이 system을 만족하는 $x_1, x_2$의 값을 solution이라고 하고, 그걸 다 모아놓은 것을 solution set이라고 한다.

Consistent/Inconsistent

어떠한 system(linear system)이 solution을 적어도 하나 가진다면, 해당 system은 consistent. 그렇지 않다면 inconsistent.

Equivalent

두 systems가 같은 solution set을 가진다면, 둘은 equivalent하다고 한다. 만일 system 1은 solution이 하나이고 system 2는 infinitely many solutions를 가진다면 둘은 solution set이 다르므로 equivalent하지 않다.

Matrix

어떠한 linear system을 matrix로 표현할 수 있다. 각 variables의 계수만 표현하면 coefficient matrix이고, 우변의 상수까지 표현하면 augmented matrix이다.

Solving a linear system

주어진 matrix의 solution set을 찾으려면? 그것과 equivalent하고, solve하기 더 쉬운 형태의 matrix로 convert하면 된다.

$\begin{cases} 2x_1+x_2=1\\ 4x_1-x_2=5\end{cases}\quad\rarr\quad \begin{cases} 1x_1+0x_2=1\\ 0x_1+1x_2=-1\end{cases}$

이것을 쉽게 하기 위해 matrix를 이용한다. 세 가지 elementary row operation:

• Replacement
• Interchange
• Scaling

으로 주어진 matrix를 더 쉬운 matrix로 convert할 수 있다. 어떠한 matrix A에 저 연산을 적용하여 matrix B가 될 수 있다면, 둘은 row equivalent하며 same solution set을 가진다.

그러므로, 어떠한 linear system이 주어졌을 때, 두 가지 fundamental questions:

• solution이 존재하는가(consistent)?
• 존재한다면 solution은 unique한가?

에 답할 수 있다. 주어진 system의 augmented matrix를 구하고, 그것에 row operation을 가해서 triangular form으로 변환하여 solution을 얻으면 된다.