문제 설명

그린닷컴의 운영자 연두는 비밀번호를 평문 그대로 저장하는 과오를 뒤로하고, 이제부터 암호에 해시 함수를 적용해 저장하려고 한다. 연두가 아는 해시 함수라고는 알고리즘 문제 풀이에 많이 사용되는 롤링 해시 함수밖에 없기 때문에 이것을 응용하여 사용하기로 했다.

그린닷컴의 비밀번호 규칙은 꽤 특이한데, 길이가 정확히
$N$이어야 하며, 비밀번호를 이루는 문자는 지정된
$M$개의 문자 중 하나여야 한다. 따라서, 사용 가능한 각 문자를
$0$부터 차례대로 정수에 대응시키면, 비밀번호를 길이가
$N$이고 모든 원소가
$0$ 이상
$M-1$ 이하인 배열
$P = [P_0, P_1, \dots, P_{N-1} ]$로 나타낼 수 있다.

이렇게 비밀번호를 배열
$P$로 나타낸 후, 미리 정해진 정수
$A$를 이용하여 다음과 같은 해시 함수
$h$를 적용한다.

$h(P) = (P_0 \cdot A^0 + P_1 \cdot A^1 + ... + P_{N-1} \cdot A^{N-1}) \mod M$ 

예를 들어 배열
$P = [10, 30, 20], A = 7, M = 55$인 경우를 생각해보자. 이 경우
$h(P) = (10 \cdot 7^0 + 30 \cdot 7^1 + 20 \cdot 7^2) \mod 55 = (10 + 210 + 980) \mod 55 = 45$이다. 여기서
$\bmod$는 나머지 연산으로
$1200 = 21 \cdot 55 + 45$이므로
$1200 \mod 55 = 45$이다. 따라서 해시값은 항상
$0$ 이상
$M-1$ 이하의 정수이다.

그린닷컴 관리자 계정의 비밀번호 해시값을 해킹한 재현이는, 이 해시값으로 실제 비밀번호가 뭐였는지 역추적해보려고 한다. 하지만 그린닷컴에서 사용 가능한 비밀번호는
$M^N$개나 있고, 이 중 과연 알아낸 해시값과 일치하는 비밀번호는 몇 개나 될지 궁금해졌다. 여러분이 이것을 대신 구해주자.

살펴보기

배열의 한 자리가 0~M-1로 변화하고 나머지 자리는 고정되어 있다면, 그 해시 결과값들은 0~M-1에 대응시킬 수 있다.

따라서 각 해시값을 만들어낼 수 있는 배열의 가짓수는 항상 일정하다.

$h(P) = (P_0 + P_1 \cdot A^1 + ... + P_{N-1} \cdot A^{N-1}) \mod M = (P_0 + O) \mod M$
$O$는 고정시켜 두고 $P_0$가 [0, M-1] 중 하나라면 $h(P)$의 값도 [0, M-1] 중 하나와 일대일 대응된다.

반대로(?), $P_1$ ~ $P_{N-1}$이 무엇이든 $P_0$를 바꾸어 원하는 해시값을 뽑아낼 수 있을 것이다.

따라서 함수는 $Y(M, N) = M^{N-1}$이 된다.

코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int M = Integer.parseInt(st.nextToken());

        long result = 1;
        for(int i = 0; i < N-1; i++) {
            result = result * M % 1000000007;
        }
        System.out.println(result);
    }
}

마치며

수학문제 너무 어렵다.
다른 사람의 답안 중 BigInteger로 푼 것이 있는데 위 답안보다 성능이 좋아서 놀랐다.

추가) BigInteger 풀이

다음은 BigInteger를 사용한 풀이이다.

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        BigInteger N = new BigInteger(st.nextToken());
        BigInteger M = new BigInteger(st.nextToken());
        BigInteger result = M.modPow(N.subtract(BigInteger.ONE), BigInteger.valueOf(1000000007));
        System.out.println(result);
    }
}