🔔 문제
'큰 수의 법칙'은 일반적으로 통계 분야에서 다루어지는 내용이지만 동빈이는 본인만의 방식으로 다르게 사용하고 있다. 동빈이의 큰 수의 법칙은 다양한 수로 이루어진 배열이 있을 때 주어진 수들을 M번 더하여 가장 큰 수를 만드는 법칙이다. 단, 배열의 특정한 인덱스(번호)에 해당하는 수가 연속해서 K번을 초과하여 더해질 수 없는 것이 이 법칙의 특징이다.
예를 들어 순서대로 2,4,5,4,6으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 8이고, K가 3이라고 가정하자. 이 경우 특정한 인덱스의 수가 연속해서 세 번까지만 더해질 수 있으므로 큰 수의 법칙에 따른 결과는 6+6+6+5+6+6+6+5인 46이 된다.
단, 서로 다른 인덱스에 해당하는 수가 같은 경우에도 서로 다른 것으로 간주한다. 예를 들어 순서대로 3,4,3,4,3으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 7이고, K가 2라고 가정하자. 이 경우 두 번째 원소에 해당하는 4와 네 번재 원소에 해당하는 4를 번갈아 두 번씩 더하는 것이 가능하다. 결과적으로 4+4+4+4+4+4+4인 28이 도출된다. 배열의 크기 N, 숫자가 더해지는 횟수 M, 그리고 K가 주어질 때 동빈이의 큰 수의 법칙에 따른 결과를 출력하시오.
입력
- 첫째 줄에 N(2<=N<=1,000), M(1<=M<=10,000), K(1<=K<=10,000)의 자연수가 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다.
- 둘째 줄에 N개의 자연수가 주어진다. 각 자연수는 공백으로 구분한다. 단, 각각의 자연수는 1이상 10,000 이하의 수로 주어진다.
- 입력으로 주어지는 K는 항상 M보다 작거나 같다.
출력
- 첫째 줄에 동빈이의 큰 수의 법칙에 따라 더해진 답을 출력한다.
🎯 풀이방법
이 문제를 해결하려면 일단 입력값 중에서 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수만 저장하면 된다. 연속으로 더할 수 있는 횟수는 최대 K번이므로 '가장 큰 수를 K번 더하고 두번째로 큰 수를 한 번 더하는 연산'을 반복하면 된다.
💻 Python 코드
n, m, k = map(int, input().split()) # 배열 크기, 더해지는 횟수, 연속 몇번까지
numbers = sorted(list(map(int, input().split())), reverse=True)
first = numbers[0] # 가장 큰 수
second = numbers[1] # 두번째로 큰 수
answer = 0
while True:
for i in range(k):
if m == 0:
break
answer += first
m -= 1
if m == 0:
break
answer += second
m -= 1
print(answer)💡 더 생각해 봐야 할 것
이 문제는 M이 10,000 이하이므로 이 방식으로도 문제를 해결할 수 있지만, M의 크기가 100억 이상처럼 커진다면 시간 초과 판정을 받을 것이다. 간단한 수학적 아이디어를 이용해 더 효율적으로 문제를 해결해보자. 예를 들어서 N이 5이고 입력값이 2,4,5,4,6이라고 가정하자.
이때 가장 큰 수와 두번째로 큰 수를 선택하면 다음과 같다.
- 가장 큰 수: 6
- 두 번째로 큰 수: 5
이때 M이 8이고, K가 3이라면 다음과 같이 더했을 때 합을 최대로 할 수 있다. 다시 말해 (6+6+6+5) + (6+6+6+5)로 정답은 46이 된다.
이 문제를 풀려면 가장 먼저 반복되는 수열에 대해서 파악해야 한다. 가장 큰 수와 두번째로 큰 수가 더해질 때는 특정한 수열 형태로 일정하게 반복해서 더해지는 특징이 있다. 위의 예시에서는 수열 [6,6,6,5]가 반복된다. 그렇다면 반복되는 수열의 길이는 어떻게 될까? 바로 (K+1)로 위의 예시에서는 4가 된다. 따라서 M을 (K+1)로 나눈 몫이 수열이 반복되는 횟수가 된다. 다시 여기에 K를 곱해주면 가장 큰 수가 등장하는 횟수가 된다. 이때 M이 (K+1)로 나누어 떨어지지 않는 경우도 고려해야 한다. 그럴 때는 M을 (K+1)로 나눈 나머지만큼 가장 큰 수가 추가로 더해지므로 이를 고려해주어야 한다. 즉, '가장 큰 수가 더해지는 횟수'는 int(M/(K+1)*K + M%(K+1)이다. 결과적으로 위의 식을 이용하여 가장 큰 수가 더해지는 횟수를 구한 다음, 이를 이용해 두 번째로 큰 수가 더해지는 횟수까지 구할 수 있는 것이다.
💻 개선된 Python 코드
n, m, k = map(int, input().split())
numbers = sorted(list(map(int, input().split())), reverse=True)
first = numbers[0]
second = numbers[1]
count = int(m/(k+1))*k
count += m%(k+1)
answer = 0
answer += count * first
answer += (m-count) * second
print(answer)
