위상 정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
  1. 간선이 방향성을 가진 그래프
  2. 그래프 내부에 순환이 없어야 함
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정
  모든 과목을 듣기 위한 적잘한 학습 순서: 자료구조 > 알고리즘 > 고급 알고리즘
  
• 큐와 스택을 이용해 2가지 방법으로 구현

특징

1. 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.

• DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프

2. 위상 정렬에서는 여러가지 답이 존재할 수 있다.

• 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.

3. 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

• 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.

4. 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출자수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
  

알고리즘 (큐 이용)

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복
   a. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
   b. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
   == 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

알고리즘 동작 예시

사이클 없는 방향 그래프

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.

• 노드 1이 큐에 삽입
  

2. 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입
  

3. 큐에서 노드2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입
  

4. 큐에서 노드5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제고한다.

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입
  

5. 큐에서 노드6을 꼬낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입
  

6. 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입
  

7. 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입
  

8. 위상 정렬 결과

• 큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7

위상 정렬 코드 (Python)

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

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