🔎 서로소 집합

서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미함
ex) 집합 {1, 2}와 집합 {3, 4}는 서로소 관계

서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
서로소 집합 자료구조는 합집합(Union), 찾기(find) 이 2개의 연산을 지원함
  - 합집합: 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  - 찾기: 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 함

서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 동작 과정은 아래와 같음
1. 합집합 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인함
  1-1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾음
  1-2. A'를 B'의 부모노드로 설정함(B'가 A'를 가리키도록 함)
2. 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복함

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📑 서로소 집합 자료구조 예시

전체 집합: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)

[초기 단계]: 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화함

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	2	3	4	5	6

Step 1: Union(1, 4) => 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾음
현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정함

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	2	3	1	5	6

Step 2: Union(2, 3) => 노드 2와 노드 3의 루트 노드를 각각 찾음
현재 루트 노드는 각각 2와 3이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정함

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	2	2	1	5	6

Step 3: Union(2, 4) => 노드 2와 노드 4의 루트 노드를 각각 찾음
현재 루트 노드는 각각 2와 1이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정함

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	1	2	1	5	6

Step 4: Union(5, 6) => 노드 5와 노드 6의 루트 노드를 각각 찾음
현재 루트 노드는 각각 5와 6이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정함

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	1	2	1	5	5

트리 구조를 이용해 그림으로 표현시 아래와 같음

전체 원소가 {1, 2, 3, 4}와 {5, 6} 두 집합으로 나누어지는 것을 알 수 있음
'연결성'을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있음

이러한 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근 불가능
루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 함
ex) 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 노드 2를 거쳐 노드 1에 접근해야 함

기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드

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📍 경로 압축

But, 위와 같이 구현하면 find 함수가 비효율적으로 동작함
최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하기에 시간 복잡도가 O(V)

ex) {1, 2, 3, 4, 5} 총 5개의 원소, (4, 5), (3, 4), (2, 3), (1, 2) 총 4개의 union 연산
차례대로 연산을 처리하게 되면 아래와 같이 일렬로 나열하는 형태가 됨

노드 번호	1	2	3	4	5
부모	1	1	2	3	4

노드 5의 루트를 찾기 위해서는 '노드 5 -> 노드 4 -> .. -> 노드 1' 순서대로 부모 노드를 거슬러 올라가야 하므로 최대 O(V)의 시간이 소요될 수 있음

결과적으로 현재의 알고리즘을 그대로 이용하게 되면 노드의 개수 V개, 연산(union, find)의 개수 M개일 때, 전체 시간 복잡도는 O(VM)이 되어 비효율적임

따라서, 경로 압축 기법을 적용하여 find 함수를 최적화함
find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신함

// 경로 압축 기법 소스코드
def find_parent(parent, x):
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

기존의 find 함수를 위와 같이 변경하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됨

결과적으로 경로 압축 기법을 이용하게 되면 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있으며 시간 복잡도가 개선됨

ex) 이어서..

노드 번호	1	2	3	4	5
부모	1	1	1	1	1

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✅ 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 다양한 알고리즘에 사용될 수 있음
특히 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있음
(참고: 방향 그래프 내에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별 가능)

사이클 판별 알고리즘
1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인함
  1-1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행함
  1-2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복함

서로소 집합을 활용한 사이클 판별 동작 과정

[초기 단계]: 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화

인덱스	1	2	3
부모	1	2	3

Step 1: 가장 먼저 간선 (1, 2)를 확인함, 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2이기에 더 큰 번호를 갖는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경함

인덱스	1	2	3
부모	1	1	3

Step 2: 간선 (1, 3)을 확인함, 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3이기에 더 큰 번호를 갖는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경함

인덱스	1	2	1
부모	1	1	1

Step 3: 이후에 간선 (2, 3)을 확인함, 이때 노드 2와 노드 3이 이미 루트 노드로 '노드 1'을 가지고 있음 => 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있음

이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작함
서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드

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✏️ 실전 문제

📝 팀 결성

학교에서 학생들에게 0번부터 N번까지의 번호를 부여했음
처음에는 모든 학생이 서로 다른 팀으로 구분되어, 총 N + 1개의 팀이 존재함

이때 선생님은 '팀 합치기' 연산과 '같은 팀 여부 확인' 연산을 사용할 수 있음

1. '팀 합치기' 연산은 두 팀을 합치는 연산
2. '같은 팀 여부 확인' 연산은 특정한 두 학생이 같은 팀에 속하는지를 확인하는 연산

선생님이 M개의 연산을 수행할 수 있을 때, '같은 팀 여부 확인' 연산에 대한 연산 결과를 출력하는 프로그램을 작성하시오

• 입력 조건
  - 첫째 줄에 N, M이 주어짐, M은 입력으로 주어지는 연산의 개수 (1 ≤ N, M ≤ 100,000)
  - 다음 M개의 줄에는 각각의 연산이 주어짐
  - '팀 합치기' 연산은 0 a b 형태로 주어짐 (a번 학생이 속한 팀과 b번 학생이 속한 팀을 합친다는 의미)
  - '같은 팀 여부 확인' 연산은 1 a b 형태로 주어짐 (a번 학생과 b번 학생이 같은 팀에 속해 있는지를 확인하는 연산)
  - a와 b는 N 이하의 양의 정수
• 출력 조건
  - '같은 팀 여부 확인' 연산에 대하여 한 줄에 하나씩 YES 혹은 NO로 결과를 출력함
  

문제 해설

전형적인 서로소 집합 알고리즘 문제로 N과 M의 범위가 모두 최대 100,000
따라서 경로 압축 방식의 서로소 집합 자료구조를 이용하여 시간 복잡도를 개선해야 함

소스코드

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📒 이것이 코딩 테스트다 교재를 통해 학습한 내용을 정리하였습니다.