[알고리즘] 서로소 집합(Disjoint Sets)

서로소 집합이란?

서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
그리고 이 개념은 서로소 집합 자료구조로 몇몇 그래프 알고리즘에서 중요하게 사용된다.
서로소 집합 자료구조는 union, find 두가지 연산으로 이루어진다.

• union: 두개의 원소가 각각 포함되어 있는 집합을 하나로 합친다.
• find: 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 찾는다.

서로소 집합은 트리 자료구조를 통해 집합을 표현하고, 연산을 수행한다.
하나의 트리를 하나의 집합으로 볼 때, find연산은 트리의 루트노드를 찾고, 그 루트노드를 통해 특정 집합을 표현한다.
그리고, union연산의 경우 두 원소에 대해 find연산을 수행하여 각각의 루트노드를 찾고, 한 쪽의 루트노드를 다른 쪽에 연결함으로써 하나의 트리로 만드는 합집합 연산을 수행한다.

code

"""
disjoint set source code
"""

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기(find)
# 이 경우, find 는 O(V)이다.
def find_parent(parent, x):
    # 루트노드 아니면 재귀적으로 호출하여 루트노드를 찾는다.
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x


# 경로압축 기법 적용한 find 함수
# 재귀적으로 호출한 뒤 부모테이블 갱신
def find_parent_compress(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합 합치기(union)
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print("각 원소가 속한 집합: ", end=" ")
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=" ")

print()

# 부모 테이블 출력
print("부모 테이블: ", end=" ")
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=" ")


""" 
노드의 개수가 V일때, V-1개의 Union 연산과 M개의 find연산이 가능하다면 
경로압축법을 적용한 시간복잡도는 O(V + M(1 + log_(2-m/v)V))

"""

이 때, find연산에는 경로압축기법이라는 것이 존재한다. 현재 코드에서 parent 리스트를 통해 parent node를 표현하고 있는데, 일반적으로 parent node를 표현하게 될 경우, find연산의 비용이 커지게 된다.

따라서 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있도록 해당 노드의 루트노드가 바로 parent node가 되도록 수정한다. 이를 적용한 부분이 find_parent_compress 함수 부분이다. 이것이 성능이 좋기 때문에 이후 다른 그래프 알고리즘에서 find 연산을 사용할 때도 방법을 사용하게 된다.

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서로소 집합을 통한 사이클 판별

서로소 집합 자료구조의 연산은 무방향 그래프에서의 사이클 판별에 사용될 수 있다.

그 과정은 다음과 같다.

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트노드 확인
   i. 루트 노드가 서로 다르면 union연산 수행
   ii. 루트 노드가 같으면, 사이클(Cycle)발생
2. 그래프의 모든 간선에 대해 1. 반복

code

v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)

for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())

    # 사이클 발생시 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("cycle exists")
else:
    print("no cycle")

위에서 정의한 union_parent, find_parent 함수를 사용하여 사이클 여부를 판별한다.

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서로소 집합 자료구조는 위에서 말했듯이 다른 그래프 알고리즘에서 사용되는데, 대표적으로 최소신장트리를 만드는 알고리즘인 크루스칼(Kruskal)알고리즘에서 활용된다. 최소신장트리 알고리즘에 대해서는 따로 정리하도록 하겠다.

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📚 Reference

• 『이것이 코딩테스트다 with 파이썬』, 나동빈 지음