1. 수열

수열이란, 규칙성을 가지고 나열되어 있는 수들을 의미한다.

💠 등차수열

등차 수열이란, 연속된 두 항의 차이(공차d)가 일정한 수열을 의미한다.

• 첫번째 항($a_1$), 공차($d$)를 입력받아 $n$번째 항의 값($a_n$)을 출력

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputD = int(input('공차 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
  
   # 첫 번째 항 등록
   valueN = inputA1
   
   # 두 번째 항부터 n항까지 공차를 더해간다.
   for n in range(2, inputN + 1):          
        valueN += inputD
  
   print('{}번째 항의 값: {}'.format(inputN, valueN))

• 등차 수열 일반항 공식을 이용해서 n번째 항의 값(an)을 출력

  $~~~일반항 :~ a_n = a_1 + (n-1)d$

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputD = int(input('공차 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
   
   valueN = inputA1 + (inputN - 1) * inputD 👈
   
   print('{}번째 항의 값: {}'.format(inputN, valueN))

• 첫번째 항($a_1$), 공차($d$)를 입력받아 $n$번째 항까지의 합($S_n$)을 출력
  입렵받은 첫번째 항($a_1$)과 첫번째 항까지의 합($S_1$)은 먼저 대입한 후 for문을 돌린다.

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputD = int(input('공차 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
  
   valueN = inputA1
   sumN = valueN
   
   for n in range(2, inputN + 1):
        
        valueN += inputD
        sumN += valueN
  
   print('{}번째 항까지의 합: {}'.format(inputN, sumN))

• 등차 수열 합 공식을 이용해서 $n$번째 항까지의 합($S_n$)을 출력

  $~~~등차수열의~합 :~ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputD = int(input('공차 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
   
   valueN = inputA1 + (inputN - 1) * inputD
   sumN = inputN * (inputA1 + valueN) / 2 👈
   
   print('{}번째 항까지의 합: {}'.format(inputN, int(sumN)))

💠 등비수열

등비 수열이란, 연속된 두 항의 비가 일정(공비r)한 수열이다.

• 첫번째 항($a_1$), 공비($r$)를 입력받아 n번째 항의 값($a_n$)을 출력

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputR = int(input('공비 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
  
   # 첫 번째 항 등록
   valueN = inputA1
   
   # 두 번째 항부터 n항까지 공비를 곱해간다.
   for n in range(2, inputN + 1):          
        valueN *= inputR
  
   print('{}번째 항의 값: {}'.format(inputN, valueN))

• 등비 수열 일반항 공식을 이용해서 $n$번째 항의 값($a_n$)을 출력

  $~~~일반항 :~ a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputR = int(input('공비 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
   
   valueN = inputA1 * (inputR ** (inputN - 1)) 👈
   
   print('{}번째 항의 값: {}'.format(inputN, valueN))

• 첫번째 항($a_1$), 공차($d$)를 입력받아 n번째 항까지의 합($S_n$)을 출력
  입렵받은 첫번째 항($a_1$)과 첫번째 항까지의 합($S_1$)은 먼저 대입한 후 for문을 돌린다.

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputR = int(input('공비 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
  
   valueN = inputA1
   sumN = valueN
   
   for n in range(2, inputN + 1):          
        valueN *= inputR
        sumN += valueN
  
   print('{}번째 항까지의 합: {}'.format(inputN, sumN))

• 등비 수열 합 공식을 이용해서 $n$번째 항까지의 합($S_n$)을 출력

  $~~~등차수열의~합 :~ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1-r}$

  inputA1 = int(input('a1 입력: '))
   inputD = int(input('공차 입력: '))
   inputN = int(input('n 입력: '))
   
   sumN = inputA1 * (1 - (inputR ** inputN)) / (1 - inputR) 👈
   
   print('{}번째 항까지의 합: {}'.format(inputN, int(sumN)))

💠 시그마

시그마 ∑ 란, 수열의 합을 나타내는 기호이다.

• $\sum_{k=1}^{10}~2 \cdot k~의 ~ 의미는?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
     : 첫번째 항이 2이고, 공차가 2인 등차 수열의 10번째 항까지의 합

• $\sum_{k=1}^8~2 \cdot 3^{(k-1)}~의 ~ 의미는?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
     : 첫번째 항이 2이고, 공비가 3인 등비 수열의 8번째 항까지의 합

💠 계차수열

계차 수열이란, 어떤 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어진 또 다른 수열이다.

• $계차~수열(b_n)의~(n-1)번째~항까지의~합을~더해~a_n의~값을~구할~~수~있다.$

  $a_n = a_1 ~ + ~ \sum_{k=1}^{n-1} b_k ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
• $수열 ~~ a_n = \{3, ~~7, ~~13, ~~21, ~~31, ~~43, ~~57, ~~\cdots \}의~~n번째~~항의~~값을~~출력~~~~~~~$

  $~~~~~~~~~~~b_n = \{~~4,~~~6,~~~~8,~~~10,~~12,~~14,~~\cdots \}$

  inputA1 = 3 # an의 첫번째 항
   inputAN = 7 # an의 7번째 항의 값 출력
   inputB1 = 4 # bn의 첫번째 항
   inputBD = 2 # bn의 공차 d
  
   valueAN = inputA1
   valueBN = inputB1
   an = {1:inputA1}
   bn = {1:inputB1}
  
   for n in range(2, inputAN + 1):
       valueAN += valueBN
       valueBN += inputBD
       an[n] = valueAN
       bn[n] = valueBN
  
   print('an의 {}번째 항의 값: {}'.format(inputAN, valueAN))
   print(f'an = {list(an.values())}')
   del bn[inputAN]
   print(f'bn =   {list(bn.values())}')
   
   # 실행결과
   # an의 7번째 항의 값: 57
   # an = [3, 7, 13, 21, 31, 43, 57]
   # bn =   [4, 6, 8, 10, 12, 14]

💠 피보나치수열

피보나치 수열이란,
두 번째 전 항($a_{n-2}$)과 이전 항($a_{n-1}$)을 더한 합인 n 번째 항($a_{n}$)을 나열한 수이다.

• 피보나치 수열의 첫번째 항($a_1$)과 두번째 항($a_1$)을 1로 고정하고
  반복문을 이용해 n번째 항($a_n$)을 출력

  input_num = int(input('n 입력: '))
  
   fibonacci = [1, 1]
   value_pre1 = fibonacci[0]
   value_pre2 = fibonacci[1]
   value_an = 0
   sum_an = value_pre1 + value_pre2
  
   for n in range(3, input_num + 1):
       value_an = value_pre2 + value_pre1
       value_pre2 = value_pre1
       value_pre1 = value_an
       fibonacci.append(value_an)
       sum_an += value_an
  
   print('피보나치 수: {}'.format(fibonacci))
   print('{}번째 항의 값: {}'.format(input_num, value_an))
   print('{}번째 항까지의 합: {}'.format(input_num, sum_an))

• 재귀함수를 이용해 피보나치 수열 구하기

    def fibonacciRecursion(n):
         if n <= 1: return n
         else:
             return fibonacciRecursion(n-2) + fibonacciRecursion(n-1)
  
     inputN = 8
     
     print('피보나치 수: { ', end='')
     for n in range(1, inputN):
         print(fibonacciRecursion(n), end=', ')
     print(fibonacciRecursion(inputN), '}')
     
     print(f'{inputN}번째 항의 값: {fibonacciRecursion(inputN)}')
     
     # 실행결과
     # 피보나치 수: { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 }
     # 8번째 항의 값: 21

💠 팩토리얼

팩토리얼이란, 1부터 양의 정수 n까지의 모든 정수를 곱한 수이다.
단, 0!은 1로 약속한다.

• $n! = 1~\times~2~\times~\cdots~\times~(n-2)~\times~(n-1)~\times~n$

• 반복문 이용

  inputN = int(input('n 입력: '))
  
   result = 1
   for n in range(1, inputN + 1):
       result *= n
  
   print('{} 팩토리얼: {}'.format(inputN, result))

• 재귀함수 사용

  def factorial(n):
      if n == 0: 	return 1
      return n * factorial(n - 1)
      
   inputN = int(input('n 입력: '))    
   
   print('{} 팩토리얼: {}'.format(inputN, factorial(inputN)))

• math 모듈 사용

  import math
  
   inputN = int(input('n 입력: '))    
   
   print('{} 팩토리얼: {}'.format(inputN, math.factorial(inputN)))

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2. 경우의 수

💠 순열

순열이란, n개에서 r개를 선택하여 순서대로 나열하는 경우의 수이다.

• $\textcolor{blue}{n\raisebox{0.15em}{P}r}$은 $\textcolor{blue}n$부터 ($\textcolor{blue}{n-r+1}$)까지의 곱으로 구한다.

  numN = int(input('numN 입력: '))
   numR = int(input('numR 입력: '))
  
   result = 1
  
   for n in range(numN, (numN-numR), -1): 👈
       result *= n
  
   print('result: {}'.format(result))

• 순열은 팩토리얼(계승)을 이용해서 나타낼 수 있다.

  $~~~~~~~~~~~~\textcolor{blue}{n\raisebox{0.15em}{P}r = \frac{\large n!}{\large (n-r)!}}$

  import math
  
   numN = int(input('numN 입력: '))
   numR = int(input('numR 입력: '))
   
   result = int(math.factorial(numN) / math.factorial(numN - numR)) 👈
   print('result: {}'.format(result))

💠 조합

조합이란, n개에서 r개를 순서에 상관없이 선택하는 경우의 수이다.

$~~~\large n\raisebox{0.15em}{C}r = \frac{n\raisebox{0.15em}{P}r}{\large r!} = \frac{\Large n!}{\large r!(n-r)!}$

   numN = int(input('numN 입력: '))
   numR = int(input('numR 입력: '))

   resultP = 1
   resultR = 1
   resultC = 1

🚩 # nPr
   for n in range(numN, (numN-numR), -1):
       resultP *= n

   print('resultP: {}'.format(resultP))

🚩 # r!
   for n in range(numR, 0, -1):
       resultR *= n

   print('resultR: {}'.format(resultR))

🚩 # nCr = nPr/r!
   resultC = int(resultP / resultR)

   print('resultC: {}'.format(resultC))

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