신장 트리

• 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.

최소 신장 트리

• 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때

• N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우

  • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치한다.

• 노드 1, 2, 3을 모두 연결하기 위해서 가장 최소한의 비용을 가지는 신장 트리는 36이다.

  1. 23 + 13 = 36
  2. 23 + 25 = 48
  3. 25 + 13 = 38

  이처럼 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 최소 신장 트리 알고리즘이라 하며 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 크루소칼 알고리즘이 있다.

크루소칼 알고리즘

• 그리디 알고리즘으로 분류

• 크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것이다. 다만, 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다. 이렇게 하면 항상 최적의 해를 보장할 수 있다.

크루소칼 알고리즘 과정

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   $I.$ 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   $II.$ 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

예시

1. 초기 단계에서는 그래프의 모든 간선 정보만 따로 빼내어 정렬을 수행한다.
   실제로는 전체 간선 데이터를 리스트에 담은 뒤에 이를 정렬하지만, 가독성을 위해 다음 그림에서는 노드 데이터 순서에 따라 테이블 내에 데이터를 나열했다.
   

2. 첫 번째 단계에서는 가장 짧은 간선을 선택한다.
   따라서 (3, 4)가 선택되어 처리한다. 다시 말하면 노드 3과 노드 4에 대하여 union 함수를 수행한다.
   

3. 그 다음으로 비용이 가장 작은 간선인 (4, 7)을 선택한다.
   

4. 그 다음을 비용이 가장 작은 간선인 (4, 6)을 선택한다.
   

5. 그 다음으로 비용이 가장 작은 간선인 (6, 7)을 선택한다.
   다만, 노드 6과 노드 7의 루트가 이미 동일한 집합에 포함되어 있으므로 신장 트리에 포함하지 않는다.
   처리가 되었지만 신장 트리에 포함되지 않는 간선은 점선으로 표시
   

6. 그 다음으로 비용이 가장 작은 간선 (1, 2)를 선택한다.
   

7. 그 다음으로 비용이 가장 작은 간선 (2, 6)을 선택한다.
   

8. 그 다음으로 비용이 가장 작은 간선인 (2, 3)을 선택한다.
   다만, 노드 2와 노드3의 루트가 이미 동일한 집합에 포함되어 있으므로 신장 트리에 포함하지 않는다.
   

9. 그다음 비용이 가장 적은 (5, 6)을 선택한다.
   

10. 그다음 비용이 가장 작은 간선인 (1, 5)를 선택한다.
    다만, 노드 1과 노드 5의 루트가 이미 동일한 집합에 포함되어 있으므로 신장 트리에 포함하지 않는다.
    

• 결과적으로 다음과 같은 신장 트리를 찾을 수 있다.
  최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다.
  

크루스칼 알고리즘 소스코드

신장트리 크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

• $O(ElogE)$

• 크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 떄의 시간 복잡도는 $O(ElogE)$이다

  내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시

출처 : 이것이 코딩테스트다 with 파이썬