🏁 벡터의 선형독립

벡터는 선형조합이 가능한데, 이 선형조합의 결과로 각 벡터들 간의 종속과 독립을 판단한다.

• 선형종속
  $\exists~ \textbf{c} ~ s.t. ~ \textbf{w}^T\textbf{c} = \textbf{0}$
• 선형독립
  $\forall ~ \textbf{c} ~ s.t. ~ \textbf{w}^T\textbf{c} = \textbf{0} → \textbf{c} = \textbf{0}$

🏁 RANK

[정의] 행렬의 행/열 벡터 중 서로 독립인 행/열 벡터의 최대 개수
[정의] full rank : rank A = min(M, N)

다음 정리가 성립한다.

[정리] 랭크의 범위

• 행 랭크의 값은 열 랭크의 값과 같다.
  • [lemma] rank A $\le$ min(M, N)

[정리] 랭크과 역행렬

• 정방행렬A에 대해 full rank ⇔ ∃역행렬

관련개념

[정의] Low Rank Matrix $XX^T$: 행렬 X를 이루는 열벡터의 개수가 M개 일때 $XX^T$는 rank-M행렬이 되고, $XX^T$ = $\sum x_ix_i^T$이다.