파마-프렌치 3요인 모델

SonChangGi·2022년 8월 11일

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이번글에서는 파마-프렌치 3요인 모델에 대해 공부했다.

✅ 효율적 시장 가설과 유진 파마

📃 The behavior of stock-market prices(1965) 논문

주식시장 가격의 움직임에 대한 연구
결론: 주가는 예측할 수 없다.

✅ 효율적 시장 이론

시장은 이미 효율적이므로 투자자들은 모든 정보를 알고 있고, 가격에 반영되어 있다.

약형 효율적 시장: 과거의 주가 정보가 현재 주가에 반영
준강형 효율적 시장: 과거의 주가, 공적인 정보가 주가에 반영
강형 효율적 시장: 과거의 주가, 공적인 정보, 내부 정보 등 모든 정보가 현재 주가에 반영

따라서 주가를 장기적으로 계속 알 수 있는 사람은 없고, 주식시장을 이기는 것이 불가능하다.

이 이론은 패시브 전략인 인덱스 펀드의 이론적 기반이다.
또한 개별 주식의 수익률은 체계적 위험에 대한 보상으로 CAPM 베타의 근간이 된다.

✅ CAPM의 베타

CAPM 모델에서 자산수익률에 영향을 주는 요인은 오직 시장수익률이다.

하지만 경험적으로는 그렇지 않고, 파마-프렌치 3요인 모델은 다요인 모델의 시대를 열었다.

R = \alpha + \beta_1 f_1 + \beta_2 f_2 + ... + \beta_n f_n

자산의 수익률 R에 n개의 요인이 영향을 준다면 위와 같이 표현이 가능하지만, CAPM의 시장 베타로는 설명되지 않는 알파가 존재한다.

하지만 이러한 알파를 설명하기 위해 파마-프렌치 3요인 모델은 등장했다.

✅ 변동성

투자자는 위험을 기피하므로, 자산 가치가 움직이는 정도인 변동성이 크다면 곧 위험이 크다고 하고, 이를 표준편차나 베타로 측정했다.

일반적으로 위험과 수익률의 관계를 비례할 것이라 생각하지만 실제로 아무 상관관계가 없다.

변동성 척도인 베타는 미래의 변동성을 예측할 수 없다는 결론을 얻었다.

투자자는 하방위험에 민감하게 반응한다. 따라서 위험지표 측면에서 살펴보면 전통적인 표준편차는 한계가 있으므로, VaR, CVaR, semi-variance 등이 등장했다.

🔎 VaR(Value at Risk)
향후 특정기간 동안 잠재적 손실 위험 범위를 수량화하는 지표이다.

ex) 회사A의 95% 1개월 VaR=2%라면, 한달 동안 자산가치가 2% 이상 하락할 확률이 5%라는 의미이다.

🔎 CVaR(Conditional Value at Risk)
투자 포트폴리오가 가지고 있는 꼬리 위험(tail risk)의 양을 수량화하는 위험평가척도이다.

tail risk: 현재 가격에서 3 표준 편차 이상을 정상 분포의 리스크보다 높게 이동하는 재무 리스크, 즉 발생확률이 아주 낮은 리스크

ex) 위 똑같은 예시에서 CVaR=2%라면, 1개월간 발생하는 수익/손실 중 가장 낮은 5%의 평균이 2%라는 것이다.

🔎 semi-variance
투자 포트폴리오의 잠재적인 하방 위험을 측정하는 지표

데이터 집합의 평균 또는 목표 값 아래로 떨어지는 모든 관측치 의 분산 을 측정하여 계산

평균보다 작은 값의 편차 제곱의 평균

📃 The Cross-Section of Expected Stock Returns(1992) 논문

위 논문에 따르면 베타가 높은 주식과 낮은 주식의 수익률은 거의 비슷하다는 결론을 얻을 수 있다.
대신 시가총액(Size), 장부가치 대 시장가치 비율(BE/ME) 변수(PBR의 역수)가 더 주가수익률을 잘 설명하는 변수라 주장했다.

📃 Common risk factors in the returns on stocks and bonds(1993) 논문

위 논문에서는 SMB(Small minus Big), HML(High minus Low) 위험프리미엄을 도출해냈다.
또한 아래에 설명하는 파마-프렌치 3요인 모델을 제시하는 논문이다.

✅ 파마-프렌치 3요인 모델

파마, 케네스 프렌치 교수는 1963년부터 1990년까지 9,500개 종목의 주가 추이를 분석했다.
위 1992년 논문에서 결론은 베타로 측정한 주식의 위험은 수익률을 예측할 수 있는 지표가 아니라는 것이다.

3요인(변수): 시가총액, BE/ME(주가순자산비율(PBR)의 역수), 시장

결론적으로는 시가총액이 작고, PBR이 낮은 종목(가치주, 1 이하)일수록 초과수익을 올리기 유리하다는 것이다.
따라서 리스크도 시장 리스크, 규모 리스크, 가치 리스크가 있다.

✔ SMB(Small Minus Big)

규모(Size) 요인으로, 시장가치의 크기를 나타낸다.
소형주 포트폴리오와 대형주 포트폴리오의 수익률 차이를 의미한다.

✔ HML(High Minus Low)

가치(Value) 요인으로 장부가치와 시장가치 사이의 비율(BE/ME)를 나태난다.
PBR의 역수(BE/ME)가 높은 포트폴리오에서 낮은 포트폴리오 수익률 차이를 의미한다.

✅ 포트폴리오 구성 방법 및 계산

기업 시가총액을 기준으로 상위, 하위 50%를 나눠 포트폴리오를 구성한다.(Big, Small)

장부가/시장가 비율 기준으로 상위 30%, 중위 40%, 하위 30%로 3개 포트폴리오를 구성한다.(Value, Neutral, Growth)

이후 기업 규모 2그룹과 장부가/시장가 기준 3 그룹을 서로 교차해 6개를 구성한 후 SMB, HML 계산에 사용한다.

CAPM과 비교할 때 일반적으로 파마-프렌치 3요인 모델의 기대수익률이 높은데, 두 리스크 요소(Size, Value)를 고려하고 있고, 이에 대한 위험 프리미엄을 반영하기 때문이다.

SMB = $1\over3$ (Small Value + Small Neutral + Small Growth) - $1\over3$ (Big Value + Big Neutral + Big Growth)
HML = $1\over2$ (Small Value + Big Value) - $1\over2$ (Small Growth + Big Growth)

✅ 파마-프렌치 3요인 식

R_E = r_f + \beta_{MKT}(r_m-r_f)+\;\beta_{SMB}E_{SMB}+\;\beta_{HML}E_{HML}

$\beta_{MKT, SMB, HML}$ : 주식, 소형주, 가치주의 체계적 위험과 그 민감도의 보상
$R_E$ : 주식 평균 수익률
$r_f$ : 무위험 수익률
$r_m$ : 시장 평균 수익률
$E_{SMB}$ : 소형주의 대형주에 대한 시장의 평균적인 위험프리미엄(소형주)
$E_{HML}$ : 높은 BE/ME의 낮은 BE/ME에 대한 위험프리미엄(가치주)

베타 값들은 모두 리스크 척도로서 베타이다.
MKT는 시장 포트폴리오의 베타이다.
SMB는 (소형주 포트폴리오 수익률 -대형주 포트폴리오 수익률)의 베타이다.
HML은 ( $장부가치\over시장가치$ 높은 포트폴리오 수익률 - $장부가치\over시장가치$ 낮은 포트폴리오 수익률)의 베타이다.