Lie group과 Lie algebra를 설명해주세요

본 글은 장형기님의 SLAM 기술 면접 질문 100선에 대해 제 나름의 답변을 정리한 것입니다.

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Lie Theory

Lie theory는 수학과 물리학에서 대칭성과 연속적인 변환을 연구하는 이론입니다.
Lie Group과 Lie Algebra라는 두가지 핵심 개념을 기반으로 발전한 이론입니다.
이것은 노르웨이 수학자 Lie가 고안한 이론으로 갈로아가 발견한 다항식의 해를 찾는 공식이 존재하는 상황이 주어진 다항식의 해의 대칭성에 기인한다는 대수학에 큰 감명을 받아 미분방정식에도 적용을 하려고 만든 이론입니다.

이러한 시도로부터 Lie는 기존의 유한 집합이 아니라 Group의 원소가 무한대이고 대칭성을 가지고 연속적이며 미분 가능한 smooth manifold가 되는 집합을 발견하게 되었고 우리는 이를 Lie Group이라고 부릅니다.

Lie Group

정의

Lie Group은 smooth한 manifold이면서 Group의 성질을 만족하는 구조입니다.

이 정의를 3가지 조건으로 나눠서 하나씩 알아보겠습니다.

1) Group이려면?

• 집합 내의 모든 연산이 군의 기본 성질을 만족해야 합니다.
  • 닫힘성: 변환들은 연산하면 여전히 같은 집합 안에 있어야 합니다.
  • 항등원 존재: 아무 변환도 하지 않는 항등원이 있어야 합니다.
  • 역원 존재: 모든 변환에 대해 원래 상태로 되돌리는 역변환이 있어야 합니다.
  • 결합 법칙: (ab)c = a(bc)가 성립해야 합니다.

2) Smooth Manifold

• 변환의 집합이 연속적이고 매끄러운 manifold로 표현될 수 있어야 합니다.

3) 군 연산의 매끄러움

• 변환을 연산하거나 역변환을 구하는 과정 자체가 매끄러운 함수로 표현될 수 있어야 합니다.

이 3가지 조건을 모두 만족하면 Lie Group이라고 할 수 있습니다.

cf) 매끄러움: 연속하고 도함수를 구할 수 있는 성질

Lie Algebra

정의

Lie Algebra는 벡터 공간과 그 위에 정의된 Lie 괄호라는 이항 연산으로 구성됩니다.
이 연산은 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.

1. 쌍선형성(Bilinearity)
   $[aX+bY,Z] = a[X,Z] + b[Y,Z], [Z,aX+bY] = a[Z,X] + b[Z,Y]$

2. 반대칭성(Anti-Symmetry)
   $[X,Y] = -[Y,X], [X,X] = 0$

3. Jacobi 항등식(Jacobi Identity)
   $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]] = 0$

Lie Group과의 관계

Lie Algebra는 Lie Group의 접공간을 기반으로 하며, Lie Group의 곡률 있는 비선형 구조를 선형화하여 국소적으로 분석할 수 있게 합니다.

직관적인 이해

Lie Algebra는 Lie Group의 무한소 대칭을 표현합니다.

• Lie Group이 연속적인 변환들의 집합이라면, Lie Algebra는 미소 변환을 다룹니다.

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Exp/Log Map이 무엇인가요?

Exp/Log Map은 Lie Group과 Lie Algebra 사이를 연결하는 핵심 개념입니다.
Lie Group의 비선형 구조와 Lie Algebra의 선형 구조를 상호 변환하여 분석하는데 사용합니다.
이를 통해 Lie Group의 복잡한 연산을 Lie Algebra의 단순한 선형 연산으로 변환할 수 있습니다.

EXP Map

EXP Map은 Lie Algebra에서 Lie Group으로 매핑하는 연산입니다.

• Lie Algebra의 원소 $\xi$를 Lie Group의 원소 $g$로 변환됩니다.
• 직관적으로, Lie Algebra의 무한소 대칭을 Lie Group의 유한대칭으로 확장하는 과정입니다.

수식으로 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 $exp(\xi)$는 Lie Algebra $g$에 대해 정의된 지수 함수입니다.
$exp(\xi) = I + \xi + \frac{\xi^2}{2!}+\frac{\xi^3}{3!} + \dots$

Log Map

Log Map은 Lie Group에서 Lie Algebra로 매핑하는 연산입니다.

• Lie Group의 원소 $g$를 Lie Algebra의 원소 $\xi$로 변환합니다.
• Exp Map의 역연산입니다.

수식으로는 다음과 같이 정의됩니다.

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FAST LIO를 처음 읽을 때 만났던 Lie Thoery인데 정말 어려웠었습니다.
그래도 그냥 회전과 변환을 나타낼 때 사용하는 theory라고 생각하면 되겠습니다.