참고:
https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338565&cid=42346&categoryId=42346
https://tech.onepredict.ai/94d98ece-06be-4215-b5ef-87a58ab8d2e3
https://blog.naver.com/richscskia/222094400213
https://kr.mathworks.com/videos/understanding-wavelets-part-1-what-are-wavelets-121279.html
푸리에 변환은 신호가 시간적으로 변하지 않는 다는 가정을 하는데, 이에 반해 웨이블릿 변환은 시간적으로 주파수 성분이 변하는 신호에 대해 시간과 주파수 성분을 표현하기 위해 사용하는 변환 방법이다.
예를 들어 속도가 변하는 시스템 상에서, 시스템의 고장을 탑지하기 위해서는 특정 주파수를 추출해야 하는데, 속도가 변하는 경우 주파수 특성이 변하므로, 이럴 때 연속 웨이블릿 변환을 사용한다.
푸리에 변환은 갑작스러운 변화를 효율적으로 나타내지는 못하는데 반해 웨이블릿 변환은 이를 다룰 수 있다. 사인 및 코사인은 시간 및 공간에 국한되지 않아, 영원히 진동하는 이 파동으로는 급격한 변화를 다룰 수 없다.
먼저 요약하면, 신호, 시스템, 프로세스의 모델들을 특수한 신호들의 집합(wavelet들의 집합)으로 구성할 수 있다는 것을 의미한다. 국부적으로 존재하는 작은 웨이블릿을 패턴으로, 이것을 이동 및 스케일링을 통해 임의의 파형으로 표현이 가능하다.
퓨리에는 원래 사인과 코사인을 사용했다.
웨이블릿은, 정해진 시간 내에서 증가와 감소를 반복하며 진동하면서, 평균이 0인 진동으로 표현된다. 이때, 이 웨이블릿은 불규칙적이고 비대칭적이어도 된다! 진폭이 커지다가 작아지는 것 또한 가능하다. 따라서 무한한 종류를 갖는데, 대표적인 유형도 물론 존재한다.
좀 더 자세한 정의는, 평균이 0이면서, 빠르게 크기가 줄어드는 진동 파동으로, 유한 기간 동안만 존재하는 파동들을 의미한다. 다양한 모형이 존재한다는 것은 강점이 된다.
이 모든 웨이블릿은 파장을 조정할 수 있어, 길이를 시간축 방향으로 저장해 저주파수와 고주파수를 커버할 수 있다.
사인 코사인의 경우, 비례비율이 2가 되면 주파수가 절반이 된다. 웨이블릿은 비례비율이 일정한 스케일과 주파수 사이에 상호 관계가 있고, 이 상수를 웨이블릿의 중심 주파수라고 한다. 사인파와 달리, 웨이블릿은 주파수 영역에서 대역 통과 특성을 갖는데, 이와 비례하는 값을 갖는다. 스케일 팩터가 클수록 저주파가 되며, 압축되어 있을 수록 더 빠른 변화를 감지할 수 있다.
식을 보면, convolution과정을 거친다.
웨이블릿 변환이란 결국 웨이블릿을 시간축 방향으로 이동하며 원본 신호와의 상관계수를 계산하고, 이후 웨이블릿의 스케일을 조정해 다시 시간축 방향으로 이동시키며 계수를 계산하는 과정을 반복하는 것이라고 한다. 제일 많이 쓰이는 것은 Morlet함수라고 한다. 이렇게 계산한 값들 중, 원래와 가장 비슷한 웨이브가 가장 큰 계수를 갖는다.
노이즈를 제거하는 예로, 이미지에서 이를 적용하면, 명암이 갈리는 부분에서 보이는 특이점 등을 제거할 때 사용할 수 있다.
