😒 다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 사용된다. (현실세계 반영)
• 그리디 알고리즘이다.

👏 동작과정

1. 최단 거리 테이블 초기화 - 무한대의 값으로 이루어진 1차원 배열
2. 출발 노드 설정 - 최단 거리 테이블에서 해당 노드의 값을 0으로 설정
3. 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단거리 테이블을 갱신한다.
   
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

그림 설명

• 초기화: 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.
  
• Step 1: 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.
  
• Step 2: 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.
  
• Step 3: 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.
  
• Step 4: 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.
  
• Step 5: 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.
  
• Step 6: 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다.
  

🎂 코드

• for문을 통해서 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 택하는 방식으로 코드를 구현하였다. (순차 탐색)

# 다익스트라 알고리즘

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = min(distance[j[0]],j[1])
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

😉 위 코드의 문제점

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다. (V는 노드의 개수)
• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)이다.
• 노드의 개수가 엄청나게 많은 문제라면 시간 초과의 위험이 존재한다.

🎉 우선순위 큐를 이용한 다익스트라 알고리즘

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리 노드를 선택하기 위해 힙(Heap)자료 구조를 이용한다.

• 위의 다익스트라 알고리즘과 기능을 동일하지만, 순차 탐색이 아닌 최소 힙을 통해 최단거리 노드를 택함으로써 시간 복잡도를 줄여나갔다.

• 시간복잡도

	순차탐색 다익스트라	우선순위 다익스트라
최단거리 노드 찾기	O(V)	O(log(V))
총 시간복잡도	O(V^2)	O(Vlog(V))

😊 코드(우선순위 큐 활용)

import heapq

import sys

input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9)
# 노드의 개수, 간선의 개수
n,m = map(int, input().split())

# 시작점
start = int(input())

graph = [[] for i in range(n+1)]

distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

# 다익스트라 알고리즘(우선순위 큐 자료구조 이용)
def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start] = 0

    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)

        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시(최단거리가 이미 표시 되어 있으므로)
        if distance[now] < dist:
            continue

        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))

dijkstra(start)

# 거리정보를 나타내는 distance 출력
for i in range(1,n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i])