3장. 동역학

☄️ 아리스토텔레스의 운동 법칙

과거와 현재 물리법칙 발상의 차이

아리스토텔레스의 생각

"무엇이든 움직이게 하려면 힘을 작용해야하고, 힘을 주지 않으면 움직이던 물체는 힘이 작용하지 않기 때문에 멈춘다."

실제 운동법칙

“마찰력이라는 힘이 존재하기 때문에, 내가 물체에 힘을 주지 않으면 마찰력이 작용해서 멈춘다.”

아리스토텔레스는 마찰이 힘이라는 사실을 알지 못했기 때문에 잘못된 결론에 도달했다.

아리스토텔레스의 운동법칙

지금 우리가 아리스토텔레스의 발상을 살펴보면 틀렸다는 것을 쉽게 알 수 있지만, 이를 현대적인 언어; 수식으로 살펴볼 가치는 아직 존재한다. 이를 이용해 우리는 운동 방정식이 어떻게 계의 미래를 결정하는지에 대해 한 번 살펴볼 수 있다.

만약 아리스토텔레스가 미적분을 알았더라면 다음과 같은 운동법칙 / 방정식을 제시했을 것이다.

💡 임의의 물체의 속도는 작용한 힘의 총합에 비례한다.

(아리스토텔레스의 생각)

• 작용한 힘이 클수록 속도가 빨라지므로 속도 $v$는 작용한 힘 $F$와 비례한다.
• 힘과 속도를 연결하는 인수 m은 물체에 힘을 작용할 때 저항하는 현상을 나타내는 특징적인 양이다.
  • 이 양이 무엇인지 우리는 아직 알지 못한다.
  • 물체를 움직여보면 물체가 무거울수록 저항이 큰 것은 명확하기 때문에 이 인수를 물체의 질량이라고 생각했다.

아리스토텔레스의 운동법칙을 기반으로 하는 계의 변화

계에 존재하는 한 입자의 가정

• 주어진 힘 $F(t)$의 영향을 받는 입자
• $x$축을 따라 1차원 운동을 하는 입자

힘이 주어졌다는 것은, 임의의 시간 t에서 힘이 어떤 값을 가지는지를 알 수 있다는 뜻이다. ⇒ $F(t)$

계에서 입자의 위치와 계의 미래의 위치

속도가 위치 $x$의 시간미분이라는 점을 이용하면, 아리스토텔레스의 운동법칙에서 다음을 얻을 수 있다.

물론 이 상황에서 시간 $t$, 위치 $x$ 모두 연속적이지만, 불연속적인 아주 작은 간격으로 쪼갤 수 있다고 가정하고

$dx / dt$ 를 $Δx / Δt$로 바꿔서 생각하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

🔥 위 수식에 따르면, 어떤 시간 $t$에 입자가 어디에 있든지 그 다음순간$(t+Δt)$ 입자의 위치는 명확히 어떤 양만큼을 이동했으리라고 미래의 입자의 위치를 예측할 수 있다. [결정론적]

→ 입자가 $t=0$일 때의 위치 $x(0)$을 알고 있다면, 미래에 이 입자가 어디에 위치할지를 이 방정식으로 쉽게 알 수 있다.

입자의 위치를 나타내는 1차미분방정식의 풀이

• 위 방정식은 방정식의 양변을 적분하여 풀 수 있다.

  • 부정적분 씌우기

    $\int _{ }^{ }\frac{dx\left(t\right)}{dt}dt=\int _{ }^{ }\frac{F\left(t\right)}{m}dt$

  • 좌변 : 도함수의 적분 → 미적분학의 기본정리 적용

    $\int _{ }^{ }\frac{dx\left(t\right)}{dt}dt=x\left(t\right)+c$

  • 우변 : 특정한 함수 $F(t)$의 적분.
    만약 $F$가 상수라면 다음과 같이 나타낼 수 있다

    $\int _{ }^{ }\frac{F}{m}dt=\frac{F}{m}t+c.$

• 운동방정식을 만족하는 풀이 - 위치방정식

• 상수값 $c$는 초기조건이 결정한다.

  (어떤 시간 $t = a$일 때, $x(a) = b$ )에서 출발했다는 사실을 알고 있다면, 이를 대입해서 $c$를 구할 수 있다.

  $c=x(t)-\frac{F}{m}t$

(예시 대입)

아리스토텔레스 운동법칙은 가역적인가?

*가역적 : 모든 화살표를 반대방향으로 돌렸을 때 만들어지는 새로운 운동법칙 또한 결정론적인 것

시간이 연속적일 때 화살표를 뒤집는 방법

• 운동방정식에서 시간 $t$의 모든부호를 반대로 바꿔준다.
• $t$를 $-t$로 바꾸면 미래와 과거와 뒤바뀌는 효과가 존재한다.
  • 이때 작은 시간단위인 $Δt$는 $-Δt$로 바꾸어야하며, $dt$또한 $-dt$로 바꿔야한다.

시간역전된 아리스토텔레스의 운동방정식

• 원래 방정식

  $F(t) = m\frac{dx}{dt}$

• 시간역전된 방정식

  $F(-t) = -m\frac{dx}{dt}$

  이때 우리는 $F(t)$함수를 알고있기 때문에, $F(-t)$함수 또한 구할 수 있다.

🔥 시간 역전된 방정식은 원래 방정식과 정확하게 일치한다. [가역적]

여기서 우리가 알 수 있는 것은 바로

아리스토텔레스의 생각에 기반한 운동방정식은 그것이 일관되지 못한(비가역적)것이 문제가 아니라, 단지 처음 시작부터 잘못된 방정식이라는 것이다.

마찰력과 아리스토텔레스 방정식

마찰력은 많은 경우에 있어서 아리스토텔레스의 생각과 거의 일치한다.

→ 따라서 우리는 복잡한 마찰력을 계산할 때 근사시켜 아리스토텔레스의 직관을 적용하기도 한다.

+ 마찰력의 본질

• 마찰력은 근본적인 힘이 아니다.

• 어떤 물체가 접촉하고 있는 수없이 많은 다른 물체들과 복잡한 상호작용을 거친 결과이다.

  → 이들은 너무 작고 너무 많아서 일일히 그 힘을 추적하고 분석하기가 힘들다.

🥌 질량과 가속도, 힘

관성의 법칙

아리스토텔레스의 생각

• 물체가 계속 움직이기 위해서는 작용된 모든 힘의 총합이 0이 아니어야한다.
• 작용하는 힘이 0이라면 물체는 멈춘다

→ 이는 마찰력이라는 다른힘을 알지못했기 떄문에 잘못판단한 생각

👉 올바른 생각은 작용함 힘은 다른 힘인 마찰력을 극복하기 위해 필요하다는 것이다.

관성의 법칙

실제로 물체는,

🔥 어떤 힘도 작용하지 않아 자유롭게 움직일 수 있는 공간 속에 고립된 물체는 사실 움직이기 위해서 그 어떤 것도 필요로 하지 않는다.

→ 이것이 바로 관성의 법칙이다.

힘과 가속도

힘의 작용

힘은 물체의 운동 상태를 바꾼다

• 정지상태 → 물체를 움직이기 위해서 힘이 필요
• 움직이는 상태 → 물체를 멈추기 위해서 힘이 필요
• 특정 방향으로 움직이는 상태 → 물체의 방향을 바꾸기 위해서 힘이 필요

가속도

위에서 언급한
힘이 작용하는 모든 상황애서 물체의 속도에 변화가 발생한다.

• 정지상태 → 물체를 움직이기 위해서 힘이 필요 [속도가 커지는 상황]
• 움직이는 상태 → 물체를 멈추기 위해서 힘이 필요 [속도가 줄어드는 상황]
• 특정 방향으로 움직이는 상태 → 물체의 방향을 바꾸기 위해서 힘이 필요 [속도의 방향이 변화하는 상황]

⇒ 따라서 이들은 가속도를 수반 한다.

관성의 척도, 질량

우리는 직관적으로 여러가지 물체가 운동할 때, 경험에 기반하여

• 어떤 물체가 더 관성이 큰지
• = 어떤 물체의 운동방향을 바꿀 때; 속도를 바꿀 떄 더 큰 힘이 필요한지

를 알 수 있다.

ex) 내리막에서 굴러가는 탁구공과 통나무를 생각해보아라!

⇒ 어떤 물체의 관성에 대한 정량적인 척도가 바로 질량이다.

뉴턴의 운동법칙

위에서 언급한 것처럼, 뉴턴의 운동법칙은 가속도, 질량, 힘이라는 세가지 양을 수반한다.

물리량의 표현

• 가속도

  • 2장에서 물체의 운동을 다룰때 했었음

    🔗 2장.운동

  • 시간 $t$에 따른 물체의 위치를 알고있다면, 가속도는 위치의 2차 도함수로 구할 수 있다.

• 질량 : 가속도와 힘으로 표현되는 새로운 개념으로 힘에의한 변화의 저항 [힘의 정의?]

• 힘 : 주어진 질량의 운동을 바꾸는 능력 [질량의 정의?]

→ 질량과 힘이라는 개념이 아직 정의되지 않았고 상대로부터 유도되기 때문에 순환논리에 빠진 상황이 된다.

이를 탈출하기 위해서 “힘”에 대해 보다 면밀한 정의를 할 필요가 있다.

힘의 측정과 정의

힘을 측정하기 위해 용수철 저울을 사용하자.

용수철저울

• 용수철 저울에는 눈금이 표기되어있어 용수철이 얼마나 늘어났는지를 측정할 수 있다.
• 양쪽에는 2개의 갈고리가 존재한다.
  • 한 갈고리에는 질량을 측정하기위한 물체가 매달려잇다.
  • 다른 갈고리에는 힘이 작용하여 끌어당기는 용도이다.

힘의 한 단위를 정의*

• 갈고리 하나를 물체 $A$에 고정시킨다
• 저울의 바늘이 눈금자의 어떤 한 눈금을 가리킬 때까지(기준눈금) 다른 갈고리에 힘을 작용하여 잡아당긴다

⇒ 이때 물체 $A$에 작용하고있는 힘이 바로 한 단위의 힘이라고 정의하자.

2배의 힘

• 눈금 2개까지 잡아당기기
  • 단순하게 생각해보면, 위에서 정의한 힘의 한 단위가 눈금1개이므로 두 단위의 힘을 정의하려면 용수철을 눈금 2개까지 늘어나도록 당기기만 하면된다.
  • 그러나 이때 용수철이 눈금 1개 → 눈금 2개로 늘어나는 과정이 이전과 완전히 동일하게 작동한다고 가정해야한다... (복잡)

따라서 대신 우리는 다음과 같은 방법으로 2배의 힘을 정의한다.

• 용수철 저울 2개
  • 2개의 용수철 저울을 모두 물체 A에 연결한다
  • 각각의 용수철저울을 한 단위의 힘으로 잡아당긴다



3배의 힘은 용수철저울 3개, 4배의 힘은 용수철 저울 4개... 이런식으로 힘을 정의할 수 있다.

*자유공간에서 힘에 대한 물체의 운동

자유공간에서 위 실험을 하면, 우리가 갈고리를 잡아당기는 방향(힘의방향)으로 물체 $A$가 가속한다.

→ 가속도는 힘에 비례한다.

2배의 질량

2배의 질량(관성의 척도)은 2배의 관성을 의미한다.

아래 그림처럼 물체 2개를 함께 갈고리에 묶어 관성을 2배로 늘린다.

이떄 우리가 용수철 저울에 한 단위의 힘을 작용하면, 물체의 가속도가 기존의 절반밖에 되지 않는다.

→ 일반화 하여 이를 나타내면, 기존 질량의 $n$배인 질량을 가지는 물체에 대해서, 가속도는 기존 가속도의 $a/n$이다.

뉴턴의 운동법칙 수식표현

위와같은 실험을 통해, 뉴턴 운동 제2법칙을 표현할 수 있다.

힘은 질량과 가속도의 곱과 동일하다.

힘은 질량과 속도의 변화율의 곱과 동일하다.

⇒ 힘이 없으면, 속도의 변화도 존재하지 않는다.

📐막간 - 단위

단위의 중요성

내가 표현하고자는 값, 숫자에 의미를 부여하기 위해서는 내가 어떤 단위를 사용하여 이야기 하는지를 명시해야한다.

길이와 시간, 질량 단위의 정의

• 길이
  • 파리의 백금 미터자 / 광속을 이용하여 미터를 정의한다.
  • meter
  • "$x$는 길이의 단위를 가지고 있고 미터로 측정한다."
    $[x] = [\text{length}] = \text{meter} = m$
• 시간
  • 어떤 진자가 한번 흔들리는데 걸린 시간의 양으로 초를 정의한다.
  • second
  • "$t$는 시간의 단위를 가지고 있고 초로 측정한다."
    $[t] = [\text{time}] = \text{second} = s$
• 질량
  • 프랑스의 어떤 백금덩어리의 질량을 이용하여 킬로그램을 정의한다.
  • kilogram
  • "$m$는 질량의 단위를 가지고 있고 킬로그램으로 측정한다."
    $[m] = [\text{mass}] = \text{kilogram} = \text{kg}$

유도되는 단위

길이와 시간 단위로부터 속도와 가속도의 단위를 구성할 수 있다.

• 속도 : 단위 시간당 변화한 거리(=길이)로 정의할 수 있다.
  $[v] = \left[ \frac{\text{length}}{\text{time}} \right] = \frac{m}{s}$
• 가속도 : 단위 시간당 변화한 속도
  → 단위 시간당 단위 시간당 변화한 길이
  $[a] = \left[ \frac{\text{length}}{\text{time}} \right]\left[ \frac{1}{\text{time}} \right] = \left[ \frac{\text{length}}{\text{time}^2} \right]=\frac{m}{s^2}$

뉴턴의 운동법칙 $F=ma$로부터 힘의 단위 또한 쉽게 구성할 수 있다.

→ 이렇게 정의된 힘의 단위에는 특별히 '뉴턴($\text{N}$)'이라는 명칭이 붙는다.

뉴턴 방정식 풀이에 대한 예

외력이 작용하지 않는 입자

01-속도에 대하여

뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 힘을 표현할 수 있고 (좌변), 입자에는 아무런 힘도 작용하지 않기 떄문에 힘은 0이다. (우변)

물체의 질량 $m$, 가속도 $a$, 물체에 작용하는 힘 $F$사이에는 $F=ma$ 관계가 성립한다. [뉴턴의 운동 제 2법칙]

양변을 질량(m)으로 나누어 질량 인수를 없애면 위 방정식을 속도 성분별(x, y, z)로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

속도는 시간 $t$에 영향받지 않는 상수이므로 다음과 같은 등식이 성립한다는 것을 알 수 있다.
각 속도성분의 초기값과 $t$시간의 속도는 $t$에 관계없이 항상 동일하다.

이렇게 표현한 수식은 뉴턴의 운동 제 1법칙을 표현하는 식이라는 것을 알 수 있다.

일정한 운동 상태에 있는 모든 물체는 외력이 작용하지 않는한 그 운동상태를 유지하려는 성질이 있다. [뉴턴의 운동 제 1법칙]

뉴턴 제 2법칙을 이용하여 뉴턴 제 1법칙을 유도하는 과정에서 알 수 있다시피, 뉴턴 제 1법칙은 단지 외력이 0일 때 표현되는 뉴턴 제 2법칙의 특수한 경우이다.

02-위치에 대하여

속도가 위치의 미분이라는 사실을 이용하면, 위 수식을 다음 형태로 표현할 수 있다.

표현된 미분 방정식을 적분하면 다음과 같이 표기할 수 있다.

벡터표기법

일정한 힘이 작용하는 운동 - 자유낙하

어떤 일정한 힘이 $z$축으로만 작용한다고 가정하자.

기본 운동방정식($F=ma$)에 대해 다음 과정을 거쳐 아래 수식을 얻을 수 있다.
1. 가속도를 속도의 미분으로 표현한다.
2. 양변을 m으로 나눈다.

표현된 미분 방정식을 적분하면 다음과 같이 표기할 수 있다.

속도는 위치의 미분이므로, 다음을 유도할 수 있다.

여기서 $z$가 지구표면에서부터 떨어진 높이를 나타내고, $\frac{F_z}{m}=-g$로 표현하면 위의 식은 높이 $z_0$에서 초기속도 $v_z(0)$으로 낙하하는 물체의 운동을 기술하는 방정식이다.

단순 조화 진동자

단순 조화 진동자는 원점을 향해 당기는 힘에 속박되어, $x$축을 따라 움직이는 입자로 표현할 수 있다.

01-힘의 표현

힘에서 음의 부호는 힘이 항상 x=0을 향해 끌어당기는 것을 의미한다.

• x가 음수이면 힘은 양수
• x가 양수이면 힘은 음수

02-운동방정식의 표현

힘의 두 표현방법이 같다는 등식에서부터 가속도가 위치의 이차미분임을 이용하여 표현

$\frac{k}{m} = ω^2$ 로 정의할 때

📐막간 - 편미분

편미분은 다변수함수의 미분으로부터 고안된 미분법의 한 종류이다.

본 포스팅은 레너드 서스킨드의 물리의 정석 - 고전 역학편을 기반으로 작성되었습니다.