벡터가 뭔가요?

• 목차
  • 벡터란
  • 벡터 연산
  • 벡터의 노름
  • 두 벡터사이의 거리, 각도
  • 내적

벡터란

• 벡터는 숫자를 원소로 가지는 리스트(list) 또는 배열(array)이다.
• 벡터는 공간에서 한 점을 나타낸다.
• 벡터는 원점으로부터 상대적 위치를 표현한다.

벡터 연산

• 스칼라 곱
  • 백터에 스칼라곱을 하여 벡터의 길이를 변화시킬 수 있다.
• 성분곱(Hadamard product)
  • 벡터끼리 같은 모양을 가지면 성분곱을 계산할 수 있다.
• 같은 모양을 가지면 덧셈, 뺄셈이 가능함
  • 덧셈 : 다른 벡터로부터 상대적 위치이동을 표현한다.
  • 뺄셈 : 방향을 뒤집은 덧셈

벡터의 노름

• 벡터의 노름(norm)은 원점에서부터의 거리를 말한다.
  • $L_1$-노름
    • 각 성분의 변화량의 절대값을 모두 더한 것
      
      
  • $L_2$-노름
    • 피타고라스 정리를 이용해 유클리드 거리를 계산한 것
      
      
• 노름은 그 종류에 따라 기하학적 성질(원에 대한 관점)이 달라짐
  

두 벡터 사이의 거리

• $L_1, L_2$ 노름을 이용해 두 벡터 사이의 거리를 계산할 수 있음

  • 두 벡터사이의 거리를 계산할 때는 벡터의 뺄셈을 이용함
    

    위 그림에서 X->Y의 길이는 ?

    

    원점에서 y-x 까지의 거리와 같다 !

두 벡터 사이의 각도

• ($L_2$노름만 가능) 두 벡터 사이의 거리를 알면, 제2 코사인 법칙을 통해 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있다.

  제2 코사인 법칙 참고

이러한 연산을 내적(inner product)이라 부른다.

내적 : 벡터들을 성분곱한 뒤, 이를 모두 더해주는 것

내적

• 내적은 정사영(orthogonal projection)된 벡터의 길이와 관련 있다.
  ** 내적은 두 벡터의 유사도를 측정하기 위해 많이 사용된다.
  

  proj(x)는 벡터y로 정사영된 벡터 x의 그림자를 의미함

• proj(x)의 길이는 코사인법칙에 의해 $||x||$ cos $\theta$ 가 된다.
  

• 결국, 내적은 정사영의 길이를 벡터 y의 길이 ||y||만큼 조정한 값이다.