과제 목표

파이썬 numpy 패키지를 이용해 주어진 행렬에 대한 QR 분해를 구하는 코드를 작성합니다.

참고자료: 링크

행렬 $A$ 정의

다음의 3x3 행렬 $A$를 정의하는 numpy 코드를 작성하시오.

import numpy as np
import numpy.linalg 

# 행렬 코딩
A = np.array(([3,1,1,1], [1,-2,1,1], [1,-1,1,1], [1,-1,1,1]))

print(A)
print(np.shape(A))

행렬 $A$의 QR 분해 계산

앞서 정의한 행렬 $A$에 대해 LU 분해, $A = QR$를 수행하는 numpy 코드를 작성하시오.

# QR 분해
Q, R = np.linalg.qr(A)

print("Q:", Q)
print("R:", R)

## QR 분해 결과 체크: 연산결과가 A와 동일한지 체크
AA = np.dot(Q, R)
print("AA:", AA)

벡터 정의

다음의 3-벡터 $\mathbf{b}$를 정의하는 numpy 코드를 작성하시오.

# 벡터 코딩
b = np.array((4,1,2))

print(b)
print(np.shape(b))

QR-분해를 이용해 선형시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 풀기

행렬 $A$에 대한 QR 분해를 이용해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$를 계산하는 numpy 코드를 작성하시오.

$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$를 $QR \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 문제로 본 후, 다음을 해결한다.

• $R \mathbf{x} = \mathbf{y}$로 설정하고, $Q \mathbf{y} = \mathbf{b}$ 문제를 풀어 $\mathbf{y}$를 얻는다.
• $R \mathbf{x} = \mathbf{y}$ 문제를 풀어 $\mathbf{x}$를 얻는다.

선형시스템 $Q\mathbf{y} = \mathbf{b}$ 풀기

$Q$는 정규직교행렬(orthonormal matrix)이므로 $Q$의 역행렬은 전치행렬인 $Q^{T}$와 같습니다.

이러한 성질을 이용해 $\mathbf{y}$를 구하는 numpy 코드를 작성하세요.

# Qy = b 풀기

y = np.linalg.lstsq(Q, b, rcond=None)[0]
print("y:", y)
print(np.shape(y))

선형시스템 $R \mathbf{x} = \mathbf{y}$ 풀기

$R$은 역행렬이 존재하는 상삼각행렬(upper triangular matrix)입니다.

이러한 성질을 이용해 $\mathbf{x}$를 구하는 numpy 코드를 작성하세요.

# Rx = y 풀기

x = np.linalg.lstsq(R, y, rcond=None)[0]

print("x:", x)
print(np.shape(x))

선형시스템의 해 확인

앞서 QR 분해를 이용해 구한 $\mathbf{x}$가 선형시스템 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해(solution)로서 알맞게 구한 것인지 검증하는 코드를 작성하시오.

## 결과 검증

bb = np.dot(A, x)
print(bb)

if np.allclose(b, bb):
  print("Ok")
else:
  print("something wrong")