[자산배분] 포트폴리오 기대수익과 위험

Do ·2024년 3월 12일

자산배분

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이번 시리즈는 금융공학의 중요한 축인 자산 배분에 대한 공부의 필요성을 느껴 연재하게 되었습니다. 저도 처음 공부해보는 분야이므로 보완할 점이 있으면 말해주시면 좋겠습니다.

이번 포스트는 증권투자론 제7판(장영광)을 참고하였습니다.

[포트폴리오 분석과 최적투자결정의 체계]

포트폴리오 관리란 다수의 투자자산에 분산투자하는 활동을 체계적으로 계획하고 실행하며 사후통제하는 것을 의미한다.
포트폴리오 관리를 하는 일차적 목표는 분산투자를 통한 투자위험의 감소에 있다. 그러나 투자수익과 투자위험은 상반관계(trade off)에 있으므로

일정한 기대수익에 대해 위험을 최소화
일정한 위험에 대해 기대수익을 최대화

시키는 효율적 분산투자를 하는 것이 포트폴리오 관리의 궁극적 목표가 된다.

1960년대 이전의 전통적 투자론에선 단일자산의 평가에 초점이 맞추어졌지만 현대 포트폴리오 이론에서는 둘 이상의 자산에 분산투자했을 때의 투자수익과 위험에 주는 영향을 중심으로 투자결정 문제를 다룬다.
따라서, 포트폴리오 분석에서는 개별 자산을 독립적으로 평가하는 것은 충분하지 못한 것으로 본다.

포트폴리오 분석의 또 하나의 특징은 분석의 초점이 효율적 위험저감(risk diversification)의 방법과 최적 포트폴리오 구성방법을 찾는데 있다. 이를 위해 일정한 기대수익에 대해 위험을 최소화시키는 효율적 분산투자의 방법을 강구하는 것이 주 목표이므로, 투자 위험 통제에 역점을 두는 방어적 투자관리에 이용되는 경우가 많다.

최적투자결정의 체계

자산(개별종목 또는 포트폴리오)의 예상 수익률 자료를 생성하여 이로부터 그 자산의 투자가치를 기대수익률과 분산을 측정한다.
이를 근거로 지배원리를 충족하는 효율적 포트폴리오를 선택한다.
이 중에서 투자자의 위험선호도에 적합한 최적 포트폴리오를 선택한다.

최적 투자 결정은 위와 같은 세 가지 순서로 이뤄진다.

우리도 이 순서에 따라 포트폴리오 분석의 기본 개념을 배워보자

포트폴리오를 분석하기 위해선 개별 종목이나 포트폴리오의 가치를 계량화해야 어떤 포트폴리오가 좋은지 파악할 수 있다.
경제학에서, 증권(개별 종목이나 포트폴리오)의 가치는 다음과 같이 계량화된다.

$V(증권의 가치) = f(기대수익, 위험)$

즉, 증권의 가치는 기대수익과 분산이라는 두 가지 요소로 이뤄진 함수라는 것이다.

그럼 기대수익률과 위험은 어떻게 정의될까?
기대수익률은 다음과 같이 계산된다.

E(R) = \displaystyle\sum_{i=1}^{m} r_ip_i

$E(R)$ 은 개별 자산의 기대수익률
$p_i$ 는 상황 $i$ 가 발생할 확률(일어날 상황은 $m$ 가지)
$r_i$ 는 상황 $i$ 가 발생할 때의 수익률

또한, 투자위험(risk)은 미래 불확실한 상황에서의 수익률의 변동성, 즉 기대수익률이 실현되지 않을 가능성이라고 정의할 수 있는데, 이 위험의 크기는 분산 혹은 표준편차로 추정된다.

기대수익률이라는 지표를 구성하는 $p_i$ , $r_i$ 모두 결국엔 Random Variable(이하 r.v)이기 때문에 기대수익률 역시 r.v이고 r.v라는 건 불확실성을 동반한다. 따라서 우리가 기대하는 수익률이 실현되지 않을 가능성이 동반되기 때문에 수익률의 분산 역시 함께 고려해주는 것이다.

따라서, 수익률의 확률분포로부터 평균과 분산의 두 모수만 추정되면 투자 대상의 가치를 평가할 수 있고 투자 결정의 기준으로 삼을 수 있다는 의미에서 평균-분산 기준(MV 기준: Mean-Variance criterion)이라고 한다.

이때, 투자 결정의 기준으로 평균 기대수익률과 분산만을 고려한다는 것은 수익률의 확률분포가 정규분포인 것으로 가정한 것이다.

그럼, 기대수익률과 분산을 계량화했으니 효율적 포트폴리오를 선택하는 최적투자결정의 두번째 단계로 넘어가보자.

위에서 최적투자결정의 두번째 단계를 "이를 근거로 지배원리를 충족하는 효율적 포트폴리오를 선택하는 것"이라고 하였는데, 그럼 지배원리가 무엇일까.

지배원리는

위험이 동일한 투자 대상들 중에서는 기대수익이 가장 높은 것을 선택하고,
기대수익이 동일한 투자대상들 중에서는 위험이 가장 낮은 투자대상을 선택

하는 방법이다.

위 지배원리를 만족하는 포트폴리오를 선택하는 것이 효율적 포트폴리오라고 부른다.

이후 마지막 단계인 최적 포트폴리오 선택단계에선 효율적 포트폴리오 중 투자자들의 위험선호에 따라 투자자들의 최적 포트폴리오를 선택하게 된다.

이 단계에 대한 자세한 내용은 다음 포스트에서 다룰 예정이다.

[포트폴리오의 기대수익과 위험]

앞에서 개별 종목의 기대수익률은

E(R) = \displaystyle\sum_{i=1}^{m} r_ip_i

$E(R)$ 은 개별 자산의 기대수익률
$p_i$ 는 상황 $i$ 가 발생할 확률(일어날 상황은 $m$ 가지)
$r_i$ 는 상황 $i$ 가 발생할 때의 수익률

와 같이 계산된다고 언급했는데, 개별 종목들을 더하는 포트폴리오의 기대수익률은 각 종목의 비중에 따라 가중평균되어 다음과 같은 식으로 구해진다.

E(R_p) = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} w_j\times E(R_j)

$E(R_p)$ 은 포트폴리오의 기대수익률
$w_j$ 는 개별증권 $j$ 에 대한 투자비율
$E(R_j)$ 는 개별증권 $j$ 에 대한 기대수익률

그럼 포트폴리오의 분산은 어떻게 구해질까?
단순히 기대수익률처럼 가중평균으로 구해진다고 생각할수도 있겠지만 그리 간단하지 않다.

개별 종목들간의 수익률은 너무나도 명백하게 Not Independent하므로 상관관계가 존재하고 이에 따라 개별증권 간의 수익률이 움직이는 서로의 관계를 모두 고려한 변동성을 측정한 다음 공식을 이용하는 것이다.

\sigma_p ^2 = w_X ^2\sigma_X ^2 + w_Y ^2\sigma_Y ^2 + 2w_Xw_Y\sigma_{XY}

$w$ : 개별 증권에 대한 투자비율
$\sigma^2$ : 개별 증권에 대한 분산
$\sigma_{XY}$ : 증권 X와 증권 Y간의 공분산

공분산을 통해 개별증권 간의 수익률이 움직이는 관계를 계량화하고, 만약 개별증권 X와 Y의 같은 수익률 방향으로 움직인다면 결합 변동성은 별로 줄어들지 않지만 만약 다른 수익률의 방향으로 움직인다면 결합 변동성은 크게 줄어들게 된다.

구체적으로 공분산은 다음과 같이 포트폴리오를 구성하는 각 증권수익률과 기대수익률 간의 편차와 편차의 곱의 기대치로 측정된다

\sigma_{XY} = E[(r_X-E(R_X))(r_Y-E(R_Y))]

먄약 수익률의 움직임이 같은 방향이면 두 편차의 곱은 정의 값을 지니고 반대방향이면 두 편차의 곱은 부의 값을 갖게 된다.

또한 두 종목간의 수익률 움직임의 상관관계는 상관계수로도 측정된다.
이를 측정하는 상관계수 $\rho_{XY}$ 는 다음과 같이 정의된다.

\rho_{XY} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}

이때 주의할 점은 $\sigma_X$ , $\sigma_Y$ 는 표준편차지만, $\sigma_{XY}$ 은 공분산인 점을 기억해야한다.

또한, 공분산 대신 상관계수를 사용하는 이유는 상관계수 $\rho_{XY}$ 가 -1과 1 사이에서 정의되기 때문이기도 하지만 상관계수는 단위가 사라지기 때문에 다른 단위를 가지는 경우에도 단위를 맞춰 비교할 수 있게 되기 때문이라는 점도 기억해두면 좋다.

[투자위험 감소의 원리]

구성종목간의 상관관계

\sigma_p ^2 = w_X ^2\sigma_X ^2 + w_Y ^2\sigma_Y ^2 + 2w_Xw_Y\sigma_{XY}

라는 포트폴리오의 분산 식은 상관관계를 이용하여

\sigma_p ^2 = w_X ^2\sigma_X ^2 + w_Y ^2\sigma_Y ^2 + 2w_Xw_Y\sigma_X\sigma_Y\rho_{XY}

와 같이 나타낼 수 있다.

따라서, 구성 증권 간의 상관관계를 통해 투자 위험을 감소시킬 수 있다.

투자비율의 조정

포트폴리오 위험의 감소는 앞에서처럼 상관관계가 작은 종목들간의 결합을 통해서도 가능하지만 투자자금의 비율을 적절히 조정함으로써도 가능하다.

예를 들어 분산이 작은 개별 종목의 비중을 높이는 방식으로 분산을 줄일 수 있다.

최소분산 포트폴리오의 구성

포트폴리오를 구성하는 주식간의 상관관계가 일정할 때 투자비율의 조정에 따른 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 변화를 그림으로 표시한 것을 포트폴리오 결합선이라고 부른다.

예를 들어, 주식 X와 Y로 포트폴리오가 구성될 때 $\rho$ = 1인 경우 그림에서처럼 투자비율이 X에서 Y로 많아지면서 기대수익률과 위험이 비례적으로 줄게 된다.

이때 대부분 증권들간에는 $0\leq\rho\leq+1$ 의 상관관계를 보이므로,
투자비율이 달라질 때 기대수익률과 위험이 이제는 선형의 형태로 변화하지 않고 곡선의 형태로 변화하게 된다. 만약 $w^*$ 에서 위험이 최소가 된다고 할 때, $w^*$ 에 위치한 포트폴리오가 최소분산 포트폴리오(MVP: minimum variance portfolio)가 되고, $w^*$ 의 아래에 있으면 위험은 높아지지만 기대수익률은 낮아지므로 비효율적인 포트폴리오가 된다.

이때 $w^*$ 는 다음과 같은 식으로 산출할 수 있고,

w_X^* = \frac{\sigma_Y^2 - \sigma_{XY}}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 -2\sigma_{XY}} = \frac{\sigma_Y^2 - \sigma_X\sigma_Y\rho_{XY}}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 -2\sigma_X\sigma_Y\rho_{XY}}

따라서, 최소분산 포트폴리오 위의 효율적인 포트폴리오 선에 따라 투자자들의 위험선호도를 기준으로 최적 포트폴리오를 결정할 수 있다.

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