[백준] 4948. 베르트랑 공준

베르트랑 공준

분류

• 수학
• 정수론
• 소수 판정
• 에라토스테네스의 체

문제 설명

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하는 한 줄로 이루어져 있다.

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

문제풀이

처음에 모든 소수를 구하는 함수를 짜서 for문으로 만든 뒤에 적용 시켜봤는데 아무리 해도 시간초과가 났다..! 분류에도 힌트가 있듯이 이 문제는 에라토스테네스의 체라는 알고리즘 기법을 써야 풀 수 있었다.

에라토스테네스의 체를 간단히 설명하면 아래와 같다.
1. 필요한 길이만큼의 배열을 생성한 뒤 값을 index로 초기화 해준다.
2. index 끝까지 돌면서 index 자기 자신을 제외한 모든 곱에 대해 0으로 처리해준다. (왜냐? 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지기 때문)
3. 이 상태에서 계산을 하면 훨씬 빠르게 소수 문제를 풀 수 있다. 특히나 많은 소수를 구해야하는 문제에서는 에라토스테네스의 체를 필수적으로 써야한다는 사실을 깨달았다.

# 에라토스테네스의 체
import math
arr = [0 for i in range(123456 * 2 + 1)]
num = 123456 * 2

# 모든 값을 index로 초기화
for i in range(num):
    arr[i] = i

# 자기 자신을 제외한 배수를 0 처리한다. 
for i in range(2, num + 1):
    if arr[i] == 0:
        continue
    for j in range(i + i, num + 1, i):
        arr[j] = 0
# 이제 arr 배열에서 0이 아닌 숫자들을 다 소수이다.

while True:
    n = int(input())
    
    if n == 0:
        break
    
    count = 0
    for i in range(n + 1, 2 * n + 1):
        if arr[i] != 0:
            count += 1
    
    print(count)