다익스트라 최단 경로 알고리즘

정재욱·2023년 6월 1일

dijkstra 다익스트라

Algorithm

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최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 다른 말로 "길 찾기" 문제라고도 불린다.

예를 들어 "한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우", "모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우" 등의 다양한 사례가 존재한다.

간단한 최단 거리 알고리즘에는 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘, 이렇게 총 3가지 이다.

이 글에서는, 다익스트라 최단 경로 알고리즘에 대하여 정리하고자 한다.

다익스트라 (Dijkstra)

다익스트라 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 대, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

다익스트라 알고리즘은 "음의 간선"이 없을 때 정상적으로 동작한다.
- 음의 간선 : 0보다 작은 값을 가지는 간선
다익스트라 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
매번 "가장 비용이 적은 노드"를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

다익스트라 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.

출발 노드를 선정한다.
최단 거리 테이블을 초기화한다.
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 "각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리" 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 이러한 1차원 리스트를 최단 거리 테이블이라고 한다.

매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.

나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면, "더 짧은 경로도 있었네? 이제부터 이 경로가 가장 짧은 경로야" 라고 판단하는 것이다.

따라서 "방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인"해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.

동작 원리

이제 다익스트라 알고리즘의 동작 원리를 그림과 함께 살펴보자. 아래와 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

예시에서 출발 노드를 1이라 하자. 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해볼 것이다.

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단거리를 "무한"으로 초기화 한다.

Tip. 가장 간단한 방법은 1e9를 사용하는 건데, 파이썬에서 기본으로 1e9를 실수 자료형으로 처리하므로, int(1e9)를 사용하자.

step0
먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.
step1
이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 즉, 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다. 현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용은 차례로 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)이다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 "무한"으로 설정되어 있는데, 세 노드에 대하여 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다. 처리된 결과는 아래 그림과 같다.
step2
이후의 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다. 따라서 [step2]에서는 4번 노드가 선택된다. 이어서 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다. 4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다. 이대 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1 + 3), 2(1 + 1) 이다. 이 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 아래처럼 리스트가 갱신된다.
step3
[step 3]에서는 2번 노드가 선택된다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데, 이럴때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다. 그리고 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다. 이번 단계에서는 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.
step4
[step 4]에서는 5번 노드가 선택된다. 5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다. 또한 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.
step5
이어서 3번 노드를 선택한 다음 동일한 과정을 반복한다.
step6
6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다.

최단 거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로부터 출발했을 때 각 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4라는 의미다.

다익스트라 알고리즘에서는 "방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택" 하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 "최단 거리"가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.

예를 들어 [step 2]에서는 4번노드가 선택되어서 4번노드를 거쳐서 이동할 수 있는 경로를 확인했다. 이후에 [step 3] ~ [step 6]이 진행되었으나, 4번 노드에 대한 최단 거리는 더 이상 감소하지 않았다.

다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

이제 실제로 알고리즘을 구현해보자.

구현

다익스트라 일고리즘을 구현하는 방법은 2가지다.

방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
방법 2. 구현하기에 조금 더 까디롭지만 빠르게 동작하는 코드

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

간단한 다익스트라 알고리즘은 $O(V^2)$ 의 시간 복잡도를 가진다.

왜냐하면 총 $O(V)$ 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.

때문에 해당 코드는 노드의 개수가 5000개 이하 일때 일반적으로 사용할 수 있다.

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
# 방문 체크를 위한 리스트 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0  # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index


def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for next in graph[start]:
        distance[next[0]] = next[1]

    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for next in graph[now]:
            cost = distance[now] + next[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[next[0]]:
                distance[next[0]] = cost


# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우 INF라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i])

"""
입력
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력
0 2 3 1 2 4
"""

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

개선된 다익스트라 알고리즘은 최악의 경우에도 $O(ElogV)$ 를 보장한다. V는 노드의 수, E는 간선의 수다.

간단한 다익스트라 알고리즘은 "최단 거리가 가장 짧은 노드"를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 $O(V)$ 의 시간이 걸렸다.

하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더욱 빠르게 찾
을 수 있다면 알고리즘의 시간 복잡도를 더욱 줄일 수 있을 것이다.

개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙 자료구조를 사용한다.

힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

왜냐하면 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸리기 때문이다.

최소힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 "가장 값이 작은 원소"가 추출되는 특징이 있으며, 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리(heapq)는 최소힙에 기반한다는 점을 기억하자.
우리는 이러한 최소힙을 다익스트라 알고리즘에 적용할 것이다.

단순히 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 "거리"가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.

우선순위 큐를 적용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본원리는 동일하다.

최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다고 보면 된다.

즉, 앞의 코드와 비교했을 때 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다.

"최단 거리가 가장 짧은 노드"를 선택하는 과정을 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체하기 때문이다.

import sys
import heapq

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0

    while q:  # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시 (visited 대체)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for next in graph[now]:
            cost = dist + next[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[next[0]]:
                distance[next[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, next[0]))


# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우 INF라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i], end=" ")

"""
입력
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력
0 2 3 1 2 4
"""

노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는
다. 또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다. 따라서 "현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인"하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.

따라서 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다고 볼 수 있다.

힙에 N개의 데이터를 모두 넣고, 이후에 모두 빼는 과정은 $O(NlogN)$ 이다. 간단하게 생각하면 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 $O(ElogE)$ 임을 이해할 수 있다.

이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 $V^2$ 보다 작다. 왜냐하면, 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 $V^2$ 으로 볼 수 있고 E는 항상 $V^2$ 이하이기 때문이다.

다시 말해 $logE$ 는 $logV^2$ 보다 작다. 이때 $O(logV^2)$ 은 $O(2logV)$ 이고, 이는 $O(logV)$ 이다.

따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간복잡도를 간단히 $O(ElogV)$ 라고 볼 수 있다.

정재욱

AI 서비스 엔지니어를 목표로 공부하고 있습니다.

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