공부 기록

고유기저, 정규직교 기저

• 열벡터와 정규직교성 : 실수정방행렬이 직교행렬일 필요충분조건은 열벡터가 (또한 행벡터들이 마찬가지로)정규직교계를 형성하는 것이다. ⇒ 정방행렬의 열벡터들은 길이가 1이고 서로 수직(내적이 0이어야함)
  
• 고유기저: $n$ x $n$ 정방행렬 $\mathbf A$의 고유벡터들이 $\mathbf {R^n}$의 기저를 이룰 때 (=1차독립인 벡터개수가 n) 이때의 고유벡터들을 고유기저라고 함.
• $n$ x $n$ 정방행렬 $\mathbf A$가 $\mathbf n$개의 서로 다른 고유값을 가지면 이 행렬의 고유벡터들은 $\mathbf {R^n}$의 기저가 됨
• 대칭행렬은 고유벡터로 구성된 $\mathbf {R^n}$의 정규직교 기저를 가짐

행렬의 유사성과 대각화

• $\mathbf {\hat A = P^{-1}AP}$
• $\mathbf {\hat A}$ 는 $\mathbf A$ 와 유사하다.
• 유사변환: $\mathbf A$로부터 $\mathbf {\hat A }$를 얻는 변환
• $\mathbf A$ 와 $\mathbf {\hat A }$
  • 두 행렬의 행렬식은 같다 → 행렬식의 성질 (곱하는 순서가 바뀌어도 상관없음)
  • 두 행렬은 같은 고유값을 갖는다. ⇒ $\mathbf {Ax = \lambda x -> \hat A y = \lambda y}$ 가 성립해야함. (← 행렬의 고유값, 고유벡터) ⇒ $\mathbf {y=p^{-1}x}$: $\hat A$ 의 고유벡터
    
  • 두 행렬의 대각합은 항상 같다

고유값 분해

• 대각화: $n$ x $n$ 행렬 $\mathbf A$가 고유기저를 가지면 이들 고유벡터를 열벡터로 하는 행렬 $\mathbf X$ 에 대해 $\mathbf {D = X^{-1}AX}$는 대각행렬이 되고, $\mathbf A$의 고유값들이 주대각의 원소가 됨.
• $\mathbf {D^m = X^{-1}A^mX}$ 이성립함

• 대각합
  • tr(AB) = tr(BA) *행렬 세 개의 곱으로 구할 때는 주의해야함
    • $tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$: 행렬 세 개일 때
    • $tr(A) = tr (PDP^{-1}) = tr(PDP^T)$
  • 대칭행렬의 대각합은 고윳값의 합과 같다.
    • $tr (PDP^{-1}) = tr (P^{-1}PD) = tr(D)$ : 위의 성질 때문에 이렇게 증명 가능함
    • 대칭행렬은 $PDP^{-1} = PDP^T$ (*P는 직교행렬이기 때문)
  • 유사행렬의 trace는 항상 같다

특이값 분해(SVD)

• $\mathbf {UΣ = AV}$ : 에서 A가 뭔지 알기위해 이렇게 하는 것. V는 직교행렬이니 양변에 전치 곱해서 A를 구할 수 있음
• 고윳값 분해 vs SVD
  • SVD는 정규 직교 기저 사용, 고윳값 분해는 직교가 아니어도 됨.
  • 고윳값 분해는 정방행렬에서만 가능하고, SVD는 모든 행렬에 적용 가능함
  • 고윳값 분해는 $A^k$와 같은 계산에 사용하고 SVD는 그 자체를 분석할 때 사용함
• 행렬 근사: r<k에 대해서 계산 → 근사할 수 있음 (연산량 줄이기)