2차 digital filter 설계

기본적인 DSP IIR 필터는 아날로그 필터에서 bilinear transform을 하여 IIR 필터를 구현하는 방식으로 구현됨. 따라서 IIR필터를 설계한다는것은 아날로그 필터에 대한 이해만 있으면 쉽게 구현이 가능함.

IIR filter

• IIR filter는 'infinite impulse respons filter의 줄임말임. 즉 피드백 구조가 무한하게 이어진 구조로 코드로 구현하면 재귀 구조로 출력값을 불러오는 구조, 하지만 실제 구현에서는 DP로 구현하긴 함

• 따라서 이걸 대충 Biquad 구조로 설명하자면,

  $y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2]$

• 전달 함수는 다음과 같음

  $H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$

• 이때 대략적인 설계 순서를 정리하면

  1. 원하는 특성주파수 $\omega_0$ 와 $Q$ 값을 설정
  2. 이를 바탕으로 $a_1$ 과 $a_2$를 계산하고
  3. 해당값들은 기본적으로 모든필터에서도 똑같이 적용됨
  4. 고정된 $a$ 계수를 사용하여 분자의 $b$ 계수를 계산하면 됨

  핵심 포인트

  1. 분모의 값은 특성주파수와 Q값에 의해서 결정됨, 즉 컷오프 영역에서의 주파스 응답특성에 따라서 결정된다고 보면된다.
  2. 분자의 계수는 필터의 특성 (Low pass, high pass, band pass) 등을 결정

• 여튼 IIR필터의 특징은 전에 입력된값을 계속해서 재귀적으로 불러온다는 점인데, 장단점을 요약하면 다음과 같음

  • 장점
    1.피드백 구조로 이어지기 떄문에 외부환경 변화에 둔감
    2.비선형 왜곡을 줄이고
    3.노이즈 효과를 줄여줌
  • 단점
    1.차수가 높을 수록 해석이 어렵고
    2.위상응답이 비선형 적임

Bilinear Transform에 대한 수학적 계산

1. 우선 여기 공통되는 a 값을 우선 계산

   $a_1 = \frac{-2cos(\omega_0)}{1+\alpha} \quad, a_2 =\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$

   이때 $\alpha =\:q\,sin(\omega_0)$ 이고, $q=1/2Q$ 로 계산이 됨

2. 그리고 계수에 따른 특성은 아래와같이 계산이 됨

최종적으로 요약하면 위와 같이 정리가 된다고 볼 수 있음