칼만 필터 (Kalman Filter)

1. 개요

• 잡음이 포함된 측정값으로부터 시스템의 상태를 최적 추정하는 재귀적 확률 필터
• 1960년대 루돌프 칼만(Rudolf E. Kalman)이 제안, NASA 아폴로 항법 시스템 등에서 사용
• 로봇, 자율주행, SLAM, GPS, 금융 시계열 등 다양한 분야에 적용

2. 동작 구조: Predict – Update

1. 예측 단계 (Predict)

   • 이전 상태 $(\hat{x}_{k-1|k-1})$ 와 공분산 $(P_{k-1|k-1})$ 으로부터 현재 예측 상태인 $(\hat{x}_{k|k-1})$와 $(P_{k|k-1})$을 구한다.

     i) $\hat{x}_{k|k-1} = F\,\hat{x}_{k-1|k-1} + B\,u_k$
     ii) $P_{k|k-1} = F\,P_{k-1|k-1}\,F^T + Q$

     • $F$: 상태 전이 행렬,
     • $B$: 제어 입력 모델,
     • $Q$: 프로세스 잡음 공분산

2. 보정 단계 (Update)

   • 새 측정값 $z_k$ 와 예측값 비교 후 보정, 식 2에서 구한 $(P_{k|k-1})$를 대입하여 칼만 이득 계산
     iii) $K_k = P_{k|k-1}\,H^T\,(H\,P_{k|k-1}\,H^T + R)^{-1}$
     iv) $\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k\bigl(z_k - H\,\hat{x}_{k|k-1}\bigr)$
     v) $P_{k|k} = (I - K_k\,H)\,P_{k|k-1}$

     • $H$: 관측 모델,
     • $R$: 측정 잡음 공분산,
     • $K_k$: 칼만 이득

3. 수식 요약

• 상태 방정식
  $x_k = F\,x_{k-1} + B\,u_k + w_k,\quad w_k\sim\mathcal{N}(0,Q)$
• 관측 방정식
  $z_k = H\,x_k + v_k,\quad v_k\sim\mathcal{N}(0,R)$

4. 주요 특징

• 선형 모델 & 가우시안 잡음 가정하에 최적(최소 분산) 추정
• 재귀적 구조: 이전 결과만 보관, 전체 시계열 저장 불필요
• 실시간 처리에 적합: 한 프레임씩 순차 계산
• 확장 칼만 필터(EKF), 무향 칼만 필터(UKF) 등 비선형 버전 존재