관계(이항관계)
: R: A → B, a R b
집합 A,B가 있을 때 집합 A에서 집합 B로 가는 관계
a ∈ A, b ∈ B일 때,
(a,b) ∈ R이면 a R b
(a,b) ∉ R이면 a R b
정의역(dom( R ))
: 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 첫 번째 원소가 포함된 집합,
즉 집합 A
dom( R ) = { a | a ∈ A }
공역(codom( R ))
: 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소가 포함된 집합,
즉 집합 B
codom( R ) = { b | b ∈ B }
치역(ran( R ))
: 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소를 모하놓은 집합,
즉 공역의 부분집합
ran( R ) = { b | (a,b) ∈ R }
그림으로 나타내면 이렇게 되고
(1,c) , (2,b), (3,a) 가 치역이 되겠다.
n항 관계
: n개의 집합 A₁A₂A₃A₄..., An이 있을때 A₁X A₂X A₃X A₄...X An의 부분집합
역관계(R^-1)
: 집합 A에서 집합 B로의 관계 R이 있을 때, 집합 B에서 집합 A로의 관계
R-1 = { (b,a) ∈ B x A | (a,b) ∈ R }
관계의 표현
: 이러한 관계를 나타내는 방법이 있는데
1. 화살표 선도
: 집합 A에서 집합 B로 가는 관계 R이 있을 때, 두 집합의 원소 간의 관계를
화살표로 나타낸 도표
2. 좌표도표
: 집합 A에서 집합 B로 가는 관계 R이 있을때, 집합 A(정의역)의 원소를 x축에
집합 B(공역)의 원소를 y축에 표시하여 관계 R을 좌표로 나타낸 도표
3. 관계행렬
: 원소가 m개인 집합 A = { a₁,a₂,a₃,a₄... }와 원소가 n개인 집합
B = { b₁,b₂,b₃,b₄... }가 있을때,
집합 A에서 집합 B로 가는 관계 R을 나타낸 m x n 행렬 M = [m]
4. 방향그래프
: 하나의 집합 A에서 집합 A로 가는 관계 R을 꼭짓점과 화살표를 이용하여 나타낸 그래프
관계의 성질
반사관계
: 집합 A에 대한 관계 R이 있을 때, 모든 a ∈ A에 대해 (a,a) ∈ R인 관계
(1,1) 또는 (a,a) 이런것들
비반사관계
: 집합 A에 대한 관계 R이 있을 때, 모든 a ∈ A에 대해 (a,a) ∉ R인 관계
반사관계인 관계(a,b)가 있으면 안된다
대칭관계
: 집합 A에 대한 관계 R이 있을 때, 어떤 a,b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R이고
(b,a) ∈ R인 관계
반대칭관계
: 집합 A에 대한 관계 R이 있을 때, 어떤 a,b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R이고
(b,a) ∈ R이면 a = b인 관계
추이관계
: 집합 A에 대한 관계 R이 있을 때, 어떤 a,b,c ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R이고
(b,c) ∈ R이면 (a,c) ∈ R인 관계
합성관계(S ∘ R)
: 집합 A에서 집합 B로의 관계 R과 집합 B에서 집합 C로의 관계 S가 있을 때, 이 두 관계를 이용해
구하는 집합 A에서 집합 C로의 관계
S ∘ R = { (a,c) ∈ A x C | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C,(a,b) ∈ R, (b,c) ∈ S }
합성관계의 거듭제곱 : R^n
: 집합 A에 대한 관계 R에 대하여 n번의 합성으로 구하는 합성 관계
- 기수가 n인 집합 A에 대한 관계 R이 추이관계일 필요충분조건은 모든 양의 정수 n에 대하여 R^n ⊆ R인 것이다.
관계의 폐포
:
