증명
: 공리, 정의, 정리를 이용하여 하나의 명제가 참(T)임을 확인하는 과정
공리
: 별도의 증명 없이도 항상 참(T)이라고 판단되는 명제
정의
: 개념이나 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식
정리
: 공리와 정의를 통해 참(T)으로 확인된 명제
직접 증명법
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명제의 조건을 그대로 이용해 증명이 가능한 경우 사용하는 증명 방법
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조건 명제 p → q가 참(T)임을 증명하기 위해 전제 p를 참(T)으로 가정했을 때,
결론 q도 참(T)임을 증명하는 방법
간접 증명법
- 주어진 명제의 결론을 모순 형태로 만들어 증명하거나, 증명해야 하는 명제의 형태가 직접
증명이 불가능하여 대우 명제의 형태로 바꾼 후에 증명이 가능한 경우 사용하는 증명 방법
모순 증명법
: 조건명제 p → q와 ~(p∧q)가 동치임을 이용하여, p∧~q가 거짓(F)임을 보임으로써 증명하는 방법
대우 증명법
: 조건명제 p → q와 이에 대한 대우 명제 ~q → ~p가 동치임을 이용하여 증명하는 방법
존재 증명법 (∃xP(x))
: 명제가 참(T)이 되는 예를 찾아서 증명하는 방법
반례 증명법 (∃x~P(x))
: 명제가 모순이 되는 예를 찾아서 증명하는 방법
수학적 귀납법
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어떤 식이나 문장이 특정 범위에 해당하는 모든 값이나 원소에 대해 만족하는지를 증명해야
하는 경우 사용하는 증명 방법 -
0보다 크거나 같은 정수 범위에서 발생하는 일정한 규칙을 나타내는 명제 P(n)이 성립함을
증명하는 방법
수학적 귀납법의 단계
1. 기본 가정 : 명제의 논의영역 D의 첫 번째 값 d에 대하여, P(d)가 참(T)임을 보인다.
2. 귀납 가정 : 논의영역에 속하는 임의의 값 n에 대하여, P(n)이 참(T)이라고 가정한다.
3. 귀납 증명 : 기본 가정과 귀납 가정을 통해 논의영역에 속하는 값 n+1에 대하여,
P(n+1)이 참(T)임을 증명한다.
