[이코테 2021] 16. 서로소 집합 자료구조

🔊본 포스팅은 '(이코테 2021) 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬' 유튜브 강의를 수강하고 정리한 글입니다.

그래프

• 그래프(Graph)란 노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조를 의미한다.

서로소 집합

• 서로소 집합(Disjoint Sets)이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

서로소 집합 자료구조

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.
  합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.
찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다.
• 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같습니다.
  

이러한 4개의 union 연산은 각각 '1과 4는 같은 집합','2와 3은 같은 집합','2와 4는 같은 집합','5와 6은 같은 집합'이라는 의미를 가지고 있다.

일반적으로 합치기 연산을 수행할 때, 더 큰 루트 노드가 더 작은 노드를 가리키도록 만들어서 테이블을 갱신한다.

서로소 집합 자료구조: 연결성

서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현 방법

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
    	return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a<b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a,b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
	print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v+1):
	print(parent[i], end=' ')

서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현 방법의 문제점

서로소 집합 자료구조: 경로 압축

• 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다.
  찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if paret[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

• 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
    	return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a<b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a,b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
	print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v+1):
	print(parent[i], end=' ')

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
  참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.
• 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같다.
  

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a<b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i

cycle = False  # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
	a,b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
    	cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
    	union_parent(parent, a, b)
        
if cycle:
	print("사이클이 발생했습니다.")
else:
	print("사이클이 발생하지 않았습니다.")