학술 대회를 준비하는 과정에서, 아이디어 중 하나가 생존 분석 을 활용하는 것이었습니다. 그래서 이에 관해 참고 문헌을 찾아보면서 공부해본 내용을 정리해보고자 합니다.

목차
1. 생존 분석이란?
2. 실사용?

1. 생존 분석이란?

저는 이번 학술대회 아이디어 도출 과정에서 생존 분석에 관해 처음 접하게 되었습니다. 항상 이미 있는 머신러닝 방식을 사용하는 것이 일반적이라 더욱 흥미롭게 느껴졌던 거 같습니다.
특히, 수학과가 본 전공인 저에게 생존 함수, 위험 함수라는 것은 더 알아보고 싶게 만들었습니다.

<뤼튼 생성 이미지>

생존 분석은 통계학의 한 분야로, 어떠한 현상이 발생하기까지에 걸리는 시간에 대해 분석하는 것입니다.

생존 함수

생존 분석에서 중요한 것은 생존 함수입니다.
생존 함수, survival function은 다음과 같이 정의합니다.

S(t) = Pr(T>t)

t: 시간 변수, T: 사망에 이르는 시점, Pr: 확률 함수
즉, 생존 함수는 특정한 시간 t보다 오래 생존할 확률을 말합니다.
일반적으로 S(0)=1이겠지만, 연구를 시작하자마자 표본이 사망한 경우에 S(0)이 1보다 작을 수 있습니다.

생존분포함수와 사건밀도

사건분포함수(lifetime distribution function) F(t)는 다음과 같이 정의합니다.

F(t) = Pr(T<=t) = 1 - S(t)

만약 F(t)가 미분가능하다면, 그 미분된 함수는 생존분포의 밀도 f(t)라 합니다.

f(t) = F'(t)

f(t)는 사건밀도라고도 하고, 이는 단위 시간당 사망 비율을 뜻합니다.

위험함수와 누적위험함수

위험함수(hazard function) h(t)는 다음과 같이 정의합니다.

h(t) = lim_dt->0 Pr(t <= T < t+dt)/dt*S(t) = f(t)/S(t)

누적위험함수(cumulative hazard function) H(t)는 다음과 같이 정의합니다.

$H(t) = \int h(u) du$

실사용?

처음 접하게 되는 입장에서 이론만으로는 와닿지 않았습니다.
따라서 여러 참고 문헌들을 살펴보았습니다.
그 중 하나를 이 글에서 소개하며 정리해보고자 합니다.

생존분석을 이용한 중소기업 부실예측과 생존시간 추정(Business Failure Prediction Using Survival Analysis and Survival Time Analysis), 김상문

이 논문에서는 중소기업 생존시간을 추정하는데, 로지스틱 모형과 생존분석모형인 Cox의 비례위험모형과 모수적 생존분석모형인 가속수명시간모형을 비교하여 모형의 예측에 대한 비교를 하고 있습니다.

<뤼튼 생성 이미지>

비례위험모형(PHM)은 생존시간에 대한 어떠한 분포적 가정을 하지 않아 비모수적인 형태를 갖지만 추정해야할 모수가 있어 비모수와 모수 중간형태의 모형을 갖습니다.

또한, 생존시간의 분포를 알고 있는 경우에는 회귀분석과 유사한 모수적 생존모형인 AFTM을 주로 이용합니다. 기업부실예측 모형을 구축하기 위해 18개 변수 중 각 모형에 유의한 변수를 단계적 변수 선택방법(stepwise selection method)을 사용하여 선택하였습니다. 가속고장시간모형은 반응변수인 기업의 부실여부에 영향을 주는 변수를 선별하기 위한 $\chi^2$검정을 통해 유의수준 5%에서 유의한 변수를 선택하였습니다.

이러한 방법론을 참고하여 저희 학술대회에서도 생존분석모형과 로지스틱 모형을 비교하며 성능을 개선해나가는 과정을 보여도 좋겠다는 생각을 했습니다.

물론 학술대회에 나가기 위해서는 저희가 가지고 있는 데이터 형태와 생존 분석 모형에 들어갈 데이터 형태가 맞는지 등등을 고민해보아야겠지만, 새롭게 알게 된 생존 분석에 관해 탐구해볼 수 있어 재밌었습니다.