이코테 강의를 통해 공부한 내용입니다!

최단 경로 문제

• 최단 경로 알고리즘 : 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점 → 다른 한 지점
  • 한 지점 → 다른 모든 지점
  • 모든 지점 → 다른 모든 지점

다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 다익스트라가 제안한 알고리즘
• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
• 음의 간선이 없을 때 정상적으로 작동
• 길찾기 문제 자체는 다이나믹 프로그래밍의 원리가 도입된 문제임
• 다익스트라는 길찾기 문제 중 특히 그리디 알고리즘으로 분류할 수 있음
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복하는 알고리즘이기 때문!

다익스트라 알고리즘 동작 과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블 초기화한다.
   1. 처음에는 모든 노드까지의 비용을 무한으로 설정
   2. 자기 자신에 대한 비용은 0으로 설정
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘의 일종이다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실하게 찾을 수 있다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차탐색)

파이썬으로 구현

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 1 * 10^9 (10억억

# 입력 1
node_num, vertex_num = map(int, input().split())
start_node = int(input())

graph = [[] for i in range(node_num + 1)] # 간접 리스트, 각 행은 각 노드의 연결을 의미함
visited = [False] * (node_num + 1)        # 노드의 방문 여부를 체크하는 리스트
distance = [INF] * (node_num + 1)         # 최단 거리 테이블

# 입력 2 - 간선 정보
for _ in range(vertex_num):
    a, b, c = map(int, input().split())  # a노드에서 b노드까지의 간선 비용이 c
    graph[a].append((b, c))              # 간접 리스트에 튜플 자료형을 이용해 저장

# 방문하지 않은 노드 중에서, 계산된 거리가 가장 짧은 노드의 번호를 반환하는 함수
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, node_num+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

# 다익스트라 함수
def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0         # 시작 노드까지의 거리 0
    visited[start] = True       # 시작 노드 방문 처리
    for j in graph[start]:      # 시작 노드와 연결된 모든 노드의 거리 값 갱신
        # j[0] : start에 연결된 노드 번호
        # j[1] : 해당 번호와 start 노드 사이의 거리
        distance[j[0]] = j[1]
    # 나머지 노드에 대해 다익스트라 알고리즘 반복 수행
    for i in range(node_num - 1): 
        # 계산된 거리가 가장 짧은 노드 선택
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # now 노드와 연결된 모든 노드의 연결값 갱신 or 확인
        for j in graph[now]:
            # j[0] : now에 연결된 노드 번호
            # j[1] : 해당 번호와 now 노드 사이의 거리
            cost = distance[now] + j[1] # now 노드를 거쳐가는 경우의 거리
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost   # 기존 값보다 작은 경로라면 갱신
              

dijkstra(start_node)

# start 노드로부터 모든 노드로까지의 최단 거리 출력
for i in range(1, node_num + 1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

C++로 구현

#include <vector>
#include <iostream>
#define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

using namespace std;

// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
vector<pair<int, int> > graph[100001];
// 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
bool visited[100001];
// 최단 거리 테이블 만들기
int d[100001];

// 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
int getSmallestNode() {
    int min_value = INF;
    int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
            min_value = d[i];
            index = i;
        }
    }
    return index;
}

void dijkstra(int start) {
    // 시작 노드에 대해서 초기화
    d[start] = 0;
    visited[start] = true;
    for (int j = 0; j < graph[start].size(); j++) {
        d[graph[start][j].first] = graph[start][j].second;
    }
    // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        int now = getSmallestNode();
        visited[now] = true;
        // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for (int j = 0; j < graph[now].size(); j++) {
            int cost = d[now] + graph[now][j].second;
            // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if (cost < d[graph[now][j].first]) {
                d[graph[now][j].first] = cost;
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    cin >> n >> m >> start;

    // 모든 간선 정보를 입력받기
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
        graph[a].push_back({b, c});
    }

    // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    fill_n(d, 100001, INF);
    
    // 다익스트라 알고리즘을 수행
    dijkstra(start);

    // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if (d[i] == INF) {
            cout << "INFINITY" << '\n';
        }
        // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else {
            cout << d[i] << '\n';
        }
    }
}

성능 분석

• 위 방법의 시간 복잡도는 O(n^2) (n : 노드의 개수)
  • n개의 노드를 가지고 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선형 탐색하기 때문
• 일반적인 코딩 테스트에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 위의 방법 사용 가능
• 하지만 노드의 개수가 10,000개가 넘어가는 문제라면 시간 초과 발생 가능

힙(Heap)

• 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
  • 최소 힙 : 최소 값을 pop
  • 최대 힙 : 최대 값을 pop
• 힙은 사입 시간과 삭제 시간의 시간 복잡도가 모두 O(logN)이다.

힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙

# 힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙
import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # pop
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

힙 라이브러리 사용 예제 : 최대 힙

# 힙 라이브러리 사용 예제 : 최대 힙
import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    # pop
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용하면 수행 시간을 줄일 수 있다.
• 최소 힙을 사용한다.

파이썬으로 구현

# 다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 1 * 10^9 (10억)

# 입력 1
node_num, edge_num = map(int, input().split())
start_node = int(input())

graph = [[] for i in range(node_num + 1)] # 간접 리스트, 각 행은 각 노드의 연결을 의미함
distance = [INF] * (node_num + 1)         # 최단 거리 테이블

# 입력 2 - 간선 정보
for _ in range(edge_num):
    a, b, c = map(int, input().split())  # a노드에서 b노드까지의 간선 비용이 c
    graph[a].append((b, c))              # 간접 리스트에 튜플 자료형을 이용해 저장

# 다익스트라 함수
def dijkstra(start):
    q = []  # 우선순위 큐, 최소 힙 사용, (계산된 거리, 도착 노드 인덱스) 튜플 저장
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    # q가 모두 pop 될 때까지 반복
    while q:
        # 우선순위 큐에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 이미 처리된 노드인지 확인
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 선택된 now 노드와 인접한 노드들 확인
        for i in graph[now]:
            # i[0] : now와 연결된 노드 번호
            # i[1] : now와 해당 노드 사이의 거리
            cost = dist + i[1]    # now를 거쳐서 가는 경우의 비용
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
            
dijkstra(start_node)

# start 노드로부터 모든 노드로까지의 최단 거리 출력
for i in range(1, node_num + 1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

C++로 구현

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

using namespace std;

// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
vector<pair<int, int> > graph[100001];
// 최단 거리 테이블 만들기
int d[100001];

void dijkstra(int start) {
    priority_queue<pair<int, int> > pq;
    // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    pq.push({0, start});
    d[start] = 0;
    while (!pq.empty()) { // 큐가 비어있지 않다면
        // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        int dist = -pq.top().first; // 현재 노드까지의 비용 
        int now = pq.top().second; // 현재 노드
        pq.pop();
        // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if (d[now] < dist) continue;
        // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for (int i = 0; i < graph[now].size(); i++) {
            int cost = dist + graph[now][i].second;
            // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if (cost < d[graph[now][i].first]) {
                d[graph[now][i].first] = cost;
                pq.push(make_pair(-cost, graph[now][i].first));
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    cin >> n >> m >> start;

    // 모든 간선 정보를 입력받기
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
        graph[a].push_back({b, c});
    }

    // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    fill(d, d + 100001, INF);
    
    // 다익스트라 알고리즘을 수행
    dijkstra(start);

    // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if (d[i] == INF) {
            cout << "INFINITY" << '\n';
        }
        // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else {
            cout << d[i] << '\n';
        }
    }
}

성능 분석

• 시간 복잡도는 O(ElogV)
• 노드의 수가 10,000개 이상이라고 해도 보통 1초 안에 수행 가능

플로이드 워셜 알고리즘 (Floyd-Warshall Algorithm)

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산하는 알고리즘

• 플로이드 워셜알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행함, 다만 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정은 필요 없음

• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장함

• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속하는 알고리즘

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인하여 거리를 갱신

  $D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$

파이썬 구현

# 플로이드 워셜 알고리즘

INF = int(1e9)

# 입력
num_nodes = int(input())
num_edges = int(input())

# 2차원 리스트 기본 값 초기화
graph = [[INF] * (num_nodes + 1) for _ in range(num_nodes + 1)]
for start_node in range(1, num_nodes + 1):
    for end_node in range(1, num_nodes + 1):
        if start_node == end_node:
            graph[start_node][end_node] = 0

# 그래프 정보 입력
for _ in range(num_edges):
    start_node, end_node, weight = map(int, input().split())
    graph[start_node][end_node] = weight

# 플로이드워셜 알고리즘
for k in range(1, num_nodes + 1):
    for a in range(1, num_nodes + 1):
        for b in range(1, num_nodes + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

# 출력
for a in range(1, num_nodes + 1):
    for b in range(1, num_nodes + 1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

C++ 구현

#include <iostream>
#include <vector>
#define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

using namespace std;

// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
// 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
int n, m;
// 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
int graph[501][501];

int main(void) {
    cin >> n >> m;

    // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    for (int i = 0; i < 501; i++) {
        fill(graph[i], graph[i] + 501, INF);
    }

    // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
    for (int a = 1; a <= n; a++) {
        for (int b = 1; b <= n; b++) {
            if (a == b) graph[a][b] = 0;
        }
    }

    // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        graph[a][b] = c;
    }
    
    // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
            }
        }
    }

    // 수행된 결과를 출력
    for (int a = 1; a <= n; a++) {
        for (int b = 1; b <= n; b++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (graph[a][b] == INF) {
                cout << "INFINITY" << ' ';
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                cout << graph[a][b] << ' ';
            }
        }
        cout << '\n';
    }
}

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N일 때 시간 복잡도는 O(N^3)
• 시간 복잡도가 크기 떄문에 노드의 개수가 500개 이하인 문제에서 보통 사용
• 다익스트라와 달리 모든 노드→ 모든 노드의 거리를 계산할 수 있는 장점이 있음!

최단 경로 문제

문제 1 : 전보

문제 해결 아이디어

• 최단 거리 문제가 핵심 아이디어
• N(노드의 개수), M(간선의 개수)가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 사용한 다익스트라 알고리즘을 써야함

솔루션 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
   q = []
   # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
   heapq.heappush(q, (0, start))
   distance[start] = 0
   while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

문제2 : 미래 도시

문제 해결 아이디어

• 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결
• N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 정답 판정을 받을 수 있음
• 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 다음
  • 1 ~ K 거리
  • K ~ X 거리
  • 둘을 각각 구해서 더하면 됨
• 양뱡향 그래프이고, 모든 비용은 1인 문제

솔루션 코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)