이코테 강의를 통해서 공부했습니다!

크루스칼 알고리즘

신장 트리

• 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 신장 트리라 한다.

크루스칼 알고리즘

• 크루스칼 알고리즘은 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다.
• 그리디 알고리즘의 한 종류이다. → 주어진 상황에서 최선의 선택(최소 비용 간선 선택)을 한다!
• 크루스칼 알고리즘의 동작 과정
  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
     a. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
     b. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
  3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

크루스칼 알고리즘 구현

# 크루스칼 알고리즘

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    # 더 작은 노드를 루트 노드로 설정
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 입력 및 초기화
num_node, num_edge = map(int, input().split())

parent_table = [0] * (num_node + 1)  # 부모 테이블
edges = []                           # 간선 리스트
result = 0                           # 최종 비용
for i in range(1, num_node + 1):
    parent_table[i] = i

for _ in range(num_edge):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용 오름차순으로 정렬
edges.sort()

# 크루스칼 알고리즘
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우
    if find_parent(parent_table, a) != find_parent(parent_table, b):
        union_parent(parent_table, a, b)
        # 신장 트리의 간선으로 선택(최종 비용에 포함)
        result += cost
		# 사이클이 발생하는 경우는 처리하지 않고 넘어감

print(result)

크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선 정렬 부분
• 표준 라이브러리의 시간 복잡도가 O(nlogn)이므로 E개의 간선을 정렬하는 연산의 시간 복잡도는 O(ElogE)가 된다.

크루스칼 알고리즘 백준 문제

1647번 : 도시 분할 계획

1647번: 도시 분할 계획

솔루션 아이디어

• 모든 집 사이에 경로가 존재 & 유지비의 합을 최소로
  → 최소 비용 신장 트리, 크루스칼 알고리즘 이용
• 두 개의 마을로 분할한다
  → 신장 트리를 두 개 만들겠다고 접근하면 머리가 아프다.
  → 한 개의 신장 트리를 완성하고, 거기서 하나의 간선을 제거하면 두 개의 신장트리가 생긴다는 것을 이용한다!
  → 이때, 비용을 최소로 하려면 가장 비용이 큰 간선을 제거하면 된다.
  

솔루션 코드

# 도시 분할 계획

import sys
input = sys.stdin.readline

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    # 더 작은 노드를 루트 노드로 설정
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 입력 및 초기화
num_node, num_edge = map(int, input().split())

parent_table = [0] * (num_node+ 1)  # 부모 테이블
edges = []                          # 간선 리스트
result_edges = []                          # 최종 비용
for i in range(1, num_node + 1):
    parent_table[i] = i

for _ in range(num_edge):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용 오름차순으로 정렬
edges.sort()

# 크루스칼 알고리즘
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우
    if find_parent(parent_table, a) != find_parent(parent_table, b):
        union_parent(parent_table, a, b)
        # 신장 트리의 간선으로 선택(최종 비용에 포함)
        result_edges.append(cost)

# 마을을 2개로 분할하되 유지비의 비용을 최소로 해야하므로 가장 큰 유지비를 하나 제외하고 출력한다.
print(sum(result_edges) - max(result_edges))