[알고리즘] 고정점 찾기

📌 문제
고정점이란, 수열의 원소 중에서 그 값이 인덱스와 동일한 원소를 의미한다. 예를 들어 수열 a = {-15, -4, 2, 8, 13}이 있을 때 a[2] = 2이므로, 고정점은 2가 된다.

하나의 수열이 N개의 서로 다른 원소를 포함하고 있으며, 모든 원소가 오름차순으로 정렬되어 있다. 이때 이 수열에서 고정점이 있다면, 고정점을 출력하는 프로그램을 작성하라. 만약 고정점이 없다면 -1을 출력한다.

단, 이 문제는 시간 복잡도 O(logN) 으로 알고리즘을 설계하지 않으면 '시간 초과' 판정을 받는다.

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📌입력 조건
첫째 줄에 N이 입력된다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

둘째 줄에 N개의 원소가 정수 형태로 공백으로 구분되어 입력된다.
(-10^9≤각 원소의 값 ≤10^9)

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📌출력 조건
고정점을 출력한다. 고정점이 없다면 -1을 출력한다.

입력
5
-15 -6 1 3 7

출력
3

입력
7
-15 -4 2 8 9 13 15

출력
2

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📌문제 해결

1. 시간 복잡도 O(logN)에 맞게 찾으려면 선형탐색으로 해결할 수 없으므로 이진 탐색으로 문제를 해결한다.
2. target은 중간지점 Index 와 동일하다 (start + end // 2)
3. target 보다 array[mid]의 값이 작은 경우 왼쪽 부분이 아닌 오른쪽 부분을 탐색하게 된다.
4. target보다 반대로 array[mid]의 값이 큰 경우 오른쪽 부분이 아닌 왼쪽 부분을 탐색하게 된다.

n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))


def binary_search(array, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2
    # 고정점을 찾은 경우 인덱스 반환
    if array[mid] == mid:
        return mid
    # 중간점이 가리키는 위치의 값보다 작은 경우 왼쪽 확인
    elif array[mid] > mid:
        return binary_search(array, start, mid - 1)
    # 중간점이 가리키는 위치의 값보다 중간점이 큰 경우 오른쪽 확인
    else:
        return binary_search(array, mid + 1, end)


index = binary_search(array, 0, n - 1)

if index == None:
    print(-1)
else:
    print(index)