Intro👀

먼저 방정식의 근이란 $f(x)=0$ 을 만족하는 x값의 집합을 의미한다.

방정식의 근의 종류

• 외재적 근 : $f(x)=0$ 에서 x를 한쪽 변으로 분리 가능 → $x=K$ ( 참해 ) 꼴로 나옴
• 내재적 근 : $f(x)=0$ 에서 x를 한쪽 변으로 분리 불가능 → 대입법, 시행착오법

수치해석은 외재적근이든, 내재적근이든 근의 종류와 상관없이 시행착오법(Trial and Error method)으로 구함, 근사해이기 때문에 오차가 존재함

근을 구하는 방법

• 구간법 : $f(x)$가 존재할때 어떤 구간 $[a,b]$ 를 설정하여 $f(x)=0$ 인 근을 찾아감 ( Bisection )
• 개방법 : 어떤 한 점( Initial Value )으로부터 시작해서 찾아감 ( Newton-Raphson )

Body🚩

이번 시간에는 Non-linear Eq( 비선형 방정식 )에서 해를 구하는 방법 중 첫번째, 이분법( Bisection method )에 대해 알아보자.

이분법을 설명하기에 앞서 ㄱ

근의 존재 여부

• 중간값 정리 : 어떤 함수 $f(x)$가 $[a,b]$ 에서 연속이고 미분가능할때, 임의의 함수값 $M$이 두 점에서의 함수값 $f(a), f(b)$와 다음과 같은 관계가 성립한다면, $f(a) \le M \le f(b)$
  이때 함수값 $M$을 만족하는 값 c가 구간 $[a,b]$에 존재하며 $f(c)=M$이다.

  즉, $M=0$ 이면 방정식의 근을 의미하고,$\ f(a) \le 0 \le f(b) ,\ f(c)=0$ 가 성립한다.
  연속함수 이기때문에 , $f(a)f(b)<0$ 이고, $c$는 함수$f(x)$의 근이 된다.

함숫값 $f(a), f(b)$의 부호가 같을때, 해의 갯수가 $0,2,4,6$ 등 짝수개의 해를 가짐( But 해가 $0$ 개인 경우 발생 )
반면에 함숫값 $f(a), f(b)$의 부호가 다르면 $1,3,5,7$ 등의 홀수개의 해가 생김( 최소한 해가 $1$ 개이상 존재함, 즉 해가 반드시 존재 )

※ 물론 중근을 가지거나 설정한 구간과 근이 겹칠경우( $=$해에 대응하는 함숫값이 $0$ 인 경우 ) 두 함숫값의 부호가 홀수가 아닌 $0$ 이 나올수도 있다.

결론적으로는 $[a,b]$ 구간 설정시, 반드시 근의 존재여부를 확인해야한다. 우리는 중간값정리를 통해서 근의 존재여부를 확인하도록 하겠다.

이제 이분법에 대해 알아보자.

• 이분법

1. $[a,b]$ 구간의 양 끝값인 $a,b$의 중간값 $c=(a+b)/2$ 를 정의한다.
2. 두 함숫값 $f(a), f(c)$의 부호를 비교한다. ( 단지 a와c의 값을 비교하면 안됨!!! )
3. -1. 두 함숫값의 부호가 다르다면, 새로운 구간인 $a \le x \le c$ 으로 구간을 대체한다.
   -2. 두 함숫값의 부호가 같다면, 새로운 구간 $c \le x \le b$ 으로 구간을 대체한다.

이렇게 표현할 수 있는 이유는 그래프를 그려보면 간단히 직관적으로 파악할 수 있다.

Code💻

2 구간법 , 이분법 코딩 순서
1. 함수정의
f(x) => 여기서 말하는 함수는 1번 함수말함
(2가지 파이썬 함수) (1) sum , print (2) def
2. 구간설정
[a,b] 구간 설정
3. 새로운 구간을 설정하기 위한 새로운 변수 정의
c= (a+b)/2
4. 새로운 변수가 들어간 함수값의 부호 판단
5. 새로운 변수로 구간 재설정