Mathematics for Machine Learning 64페이지부터

문제풀이

2.1

a)

아벨군(Abelian Group)의 조건
그룹(닫힘 + 결합법칙 + 항등원 + 역원) + 교환법칙이 성립해야 한다.

$a, b \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ 의 의미
$a, b$는 실수이되 $-1$은 제외한다는 뜻이다.

닫힘 (Closure)

연산 결과도 집합 안에 남아있어야 한다.
즉 $ab + a + b = -1$ 이 성립하지 않으면 닫힘이 증명된다.

정리하면 $(a+1)(b+1) = 0$ 이므로, $a$ 또는 $b$가 $-1$이어야 하는데 정의역에서 $-1$을 제외했으므로 이런 경우는 발생하지 않는다. → 닫힘 성립

결합법칙 성립

$(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ 를 확인하면 된다.
양변을 전개하면 모두 $abc + ab + ac + bc + a + b + c$ 로 같다. → 성립

항등원

항등원은 $a \star e = a$ 를 만족해야 한다.
$a + e + ae = a$ 를 정리하면 $e = 0$일 때 성립한다. 즉 항등원 $= 0$

역원

역원의 정의: 어떤 원소와 연산했을 때 항등원이 나오게 하는 원소.

항등원이 $0$이므로 $a \star y = 0$ 을 만족해야 한다.
$y$에 대해 정리하면 $y(a+1) = -a$ 이므로 $y = \dfrac{-a}{a+1}$.
$a \neq -1$ 이므로 모든 $a$에 대해 역원이 존재한다.

교환법칙

$a \star b = b \star a$ 인지 확인하면 되는데, 식이 대칭이므로 성립한다.

→ 위 조건을 모두 만족하므로 아벨군이다.

b)

식을 풀어 정리하면 $x = 3, 1$ 이다. $-1$이 아니므로 둘 다 해당 아벨군에 속한다.

2.2

식만 이해하면 어렵지 않다.

a)

군이다. $\oplus$는 결국 더한 뒤 $n$으로 나눈 나머지를 취하는 연산이다.

• 닫혀 있다
• 결합법칙이 성립한다
• 항등원은 $0$이다
• 역원도 더해서 $n$과 합동이 되게 하면 되므로 항상 존재한다
• 교환법칙도 성립한다 (덧셈이므로)

→ 아벨군이다.

b)

$0$을 제외하고 곱셈표를 그려보면 다음과 같다.

이 역시 아벨군이다. 곱셈에서의 항등원은 $1$이고, 표를 보면 모든 원소가 곱해서 $1$이 되게 만드는 짝(역원)을 가진다.

c)

$n = 8$인 경우, $2 \times 4 \equiv 0$ 이 나와버려서 군이 아니다.

d)

이 곱셈 구조가 소수일 때만 군이 되는 이유는 다음과 같다.
곱해서 $n$ 자기 자신이 나오면 나머지 연산에서 $0$이 되어버려 군의 조건이 깨진다. $n$이 소수가 아니라면 자기보다 작은 정수들의 곱으로 $n$을 표현할 수밖에 없기 때문에, 소수일 때만 이런 문제가 발생하지 않는다.

2.3

이 연산을 행렬 곱으로 정리하면 다음과 같다.

1	$x_1+x_2$	$z_1+z_2+x_1 y_2$
0	1	$y_1+y_2$
0	0	1

• 닫힘: 연산 결과가 항상 같은 형태의 상삼각행렬이므로 닫혀 있다.
• 결합법칙: 행렬곱이므로 성립한다.
• 항등원: $x, y, z$가 모두 $0$일 때 단위행렬이 나오므로 존재한다.
• 역원: 아래 형태로 곱해주면 단위행렬이 나온다.

→ 그룹이다.

다만 아벨리안은 아니다. $x_1 y_2$ 형태가 순서를 바꾸면 $x_2 y_1$이 되어 다른 값이 나오기 때문이다.

2.4

행렬곱 계산 문제라 넘어가겠다.

2.5

a)

하나씩 소거해나가면 되는데, 이렇게 했을 때 마지막 줄에서 모순이 발생한다. 즉 해가 존재하지 않는다.

b)

똑같이 진행하면 되는데,

일 때, $1$을 피벗으로 쓰기 위해 Row1과 Row2를 바꿔준다.

그럼 다음과 같이 나오는데,

이때 $x_3, x_5$가 자유변수이므로 $x_3 = \alpha,\ x_5 = \beta$로 두면

가 나오고, 답은 다음과 같이 쓰면 된다.

2.6

• 동차 연립방정식(homogeneous linear system): $Ax = 0$ 형태
• 비동차 연립방정식(inhomogeneous linear system): $Ax = b,\ b \neq 0$ 형태

가우스 소거를 통해 피벗을 구하고, 나머지는 자유변수로 두어 계산하면 답이 나온다.

2.7

이것도 그냥 $x_1, x_2, x_3$을 정리하면 풀린다. 그런데,

$12x$가 단위행렬을 곱한 것이라는 점을 알아채면 쉽게 풀린다. 굳.

2.8

역원은 곱해서 단위행렬(identity matrix)이 나와야 한다. 그러므로 첨가행렬 오른쪽에 단위행렬을 써놓고, 왼쪽 행렬을 가우스 소거로 단위행렬로 만들 수 있으면 역행렬이 존재하는 것이다.
즉 모든 열에 피벗이 있어야 한다 (full rank여야 한다).

a) 가우스 소거를 하면 마지막 열에 피벗이 생기지 않는다. → 역행렬 존재하지 않음

b) 가우스 소거로 하나씩 지워나가면 단위행렬이 존재하는 것을 알 수 있다.

2.9

2.10

선형독립(linear independence) 판단 문제다. 중요!!

선형독립은, 주어진 벡터들을 스칼라와 곱해 더한 값(선형결합)이 $0$이 되는 경우가 모든 스칼라가 $0$인 경우밖에 없는지를 확인하면 된다.

a)

b)

2.11

선형결합(linear combination)으로 표현되는지 확인하는 문제다. $y$를 첨가행렬에 놓고 가우스 소거를 하면 확인할 수 있다.

2.12

교집합이라는 조건이므로 두 조건을 모두 만족시켜야 한다.

이렇게 풀면 된다.

2.13

dimension = 그 공간을 만들기 위해 필요한 서로 독립인 방향의 개수

이 문제에서 중요한 것은 solution space가 homogeneous(동차) 연립 방적식에서의 해가 0이라는 거고, 그럼 dimension을 구하라는건. nullity를 구하라는 것이다.
rank + nullity = n 이다.

a)
U_1에 대해 가우스 소거를 하면
rank = 2, n = 3이라는 걸 알 수 있다. -> dim = 1

U_2에 대해 가우스 소거를 하면
얘도 1임

b) 기저 구하기~

2.14

열공간의 차원은 col 의 rank 이다.
a) 소거하고 rank 찾기
b) 기저는 피봇 col이 있던 곳의 원래 수치이다.

c) 교집합의 기저는 A_1 = A_2 를 하면 알 수 있다.
한 쪽으로 넘기고 가우스 소거를 하면,

이거고, 전부 계산하면

이렇게 나온다는데 노트에다 풀어봐야 이해할듯.

2.15