가설검정

Wackerly et al., Mathematical Statistics with Applications을 읽고
책 내용을 정리하였습니다.

10.1 서론

10.2 통계적 검정의 요소

연구가설

지지하기를 원하는 모수에 관한 이론을 연구가설(research hypothesis)라고 한다.

대립가설

연구가설에 대한 지지(연구가설의 대안이 되는 가설)

귀무가설

대립가설에 반대되는 가설

통계적 검정의 요소

1. 귀무가설, $H_0$
2. 귀무가설, $H_a$
3. 검정 통계량
4. 기각역

검정통계량

검정 통계량(test statistic)은 통계적 결정이 기초로 하는 표본 측정값의 함수

기각역

• $RR$로 표시
• 기각역(rejection region)은 대립가설을 지지하여 귀무가설을 기각하는 검정 통계값을 지정

제 1종 오류, 제 2종 오류

제1종 오류

• 귀무가설이 사실일 때 귀무가설이 기각되면 발생
• 오류 확률을 $\alpha$로 나타냄
  -> $\alpha$의 값을 검정의 수준(level of the test)이라 함

제2종 오류

• 대립가설이 사실일 때 귀무가설이 채택되면 발생
• 오류 확률을 $\beta$로 나타냄

10.3 대표본 검정

위쪽꼬리 기각역

$H_a: \theta > \theta_0$를 위쪽 꼬리 대립가설이라 할 때
$RR = {z > z_a}$를 위쪽꼬리 기각역(upper-tail rejection region)이라 한다.

아래쪽 꼬리 기각역

$H_a: \theta < \theta_0$를 아래쪽 꼬리 대립가설이라 할 때
$RR = {z < -z_a}$를 아래쪽꼬리 기각역(upper-tail rejection region)이라 한다.

양쪽꼬리검정

기각역이 Z의 확률분포의 두 꼬리에 대칭으로 위치하는 경우 양쪽꼬리검정(two-tailed tests)라 한다.

한쪽꼬리검정

기각역이 Z의 확률분포의 한쪽 꼬리에 위치하는 경우 한쪽꼬리검정(one-tailed tests)라 한다.

대표본 $\alpha$-수준 가설검정

• $H_0 : \theta = \theta_0$
• $H_\alpha$
  • $\theta > \theta_0$ (위쪽 꼬리 대립가설)
  • $\theta < \theta_0$ (아래쪽 꼬리 대립가설)
  • $\theta \neq \theta_0$ (아래쪽 꼬리 대립가설)
• 검정 통계량 : $Z = \frac{\hat{\theta} - \theta_0}{\alpha_{\hat{\theta}}}$
• 기각역
  • $Z > z_\alpha$ (위쪽 꼬리 RR)
  • $Z < -z_\alpha$ (아래쪽 꼬리 RR)
  • $|Z| > z_{\alpha/2}$ (아래쪽 꼬리 RR)

10.4 Z검정의 제2종 오류확률 계산과 표본크기 구하기

위쪽 꼬리 $\alpha$수준 검정에 대한 표본크기

$n = \frac{(z_{\alpha} + z_{\beta})^2\sigma^2}{(\mu_a -\mu_0)^2}$

10.5 가설검정 절차와 신뢰구간의 관계

채택역

임의의 검정과 관련된 기각역의 여집합을 때때로 검정의 채택역(acceptance region)이라 한다.

채택가능

• $100(1-\alpha)$ 양측 신뢰구간은 $H_0 : \theta = \theta_0$를 수준 $\alpha$에서 채택가능(acceptable)한 $\theta_0$의 모든 값의 집합으로 해석 가능
• 귀무가설을 반드시 채택(accept)하지는 않음

10.6 통계적 검정결과 보고방법: p값

유의수준

제1종 오류 확률 $\alpha$를 일반적으로 유의수준(significance level) 혹은 검정의 수준(level of the test)이라고 한다.

p값

만일 $W$가 검정 통계량이라면 $p$값은 관측된 자료가 귀무가설이 기각되어야 한다는 것을 나타내는 유의수준 $\alpha$의 최소수준이다.

10.7 가설검정의 이론에 대한 몇 가지 이야기

10.8 $\mu$와 $\mu_1 - \mu_2$에 대한 소표본 가설검정

t검정

• t 분포에 기초한 $\mu$에 대한 검정

$\mu$에 대한 소표본 검정

• 가정 : $Y_1, Y_2, ..., Y_n$이 $E(Y_i) = \mu$를 갖는 정규분포로부터의 확률 표본이다
• $H_0 : \mu = \mu_0$
• $H_a$ :
  • $\mu > \mu_0$
  • $\mu < \mu_0$
  • $\mu \neq \mu_0$
• 검정 통계량 : $T = \frac{\bar{Y}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$
• 기각역
  - $t > t_{\alpha}$
  - $t < -t_{\alpha}$
  - $|t| > t_{\alpha/2}$
  (자유도 $\nu = n - 1$인 $t_{\alpha}$)

두 모평균 비교를 위한 소표본 검정

• 가정 : $\alpha_1^2 = \alpha_2^2$인 정규분포로부터의 독립표본
• $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0$
• $H_a$ :
  • $\mu_1 - \mu_2 > D_0$
  • $\mu_1 - \mu_2 < D_0$
  • $\mu_1 - \mu_2 \neq D_0$
• 검정 통계량 : $T = \frac{(\bar{Y_1}-\bar{Y_2})-D_0}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}, S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$
• 기각역
  • $t > t_{\alpha}$
  • $t < -t_{\alpha}$
  • $|t| > t_{\alpha/2}$

(여기서 $P(T>t_{\alpha}) = \alpha$, 자유도 $\nu = n_1 + n_2 - 2$)

로버스트 통계적 검정

기본 가정에서 벗어남에 민감하지 않은 통계적 검정

10.9 분산에 대한 가설검정

모분산에 관한 가설검정

• 가정 : $Y_1, Y_2, ..., Y_n$이 $E(Y_i) = \mu$, $V(Y_i) = \sigma^2$을 갖는 정규분포로부터의 확률 표본
• $H_0 : \sigma^2 - \sigma_0^2$
• $H_{\alpha}$:
  • $\sigma^2 > \sigma_0^2$
  • $\sigma^2 < \sigma_0^2$
  • $\sigma^2 \neq \sigma_0^2$
• 검정 통계량 : $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
• 기각역
  • $\chi^2 > \chi_{\alpha}^2$
  • $\chi^2 < \chi_{\alpha}^2$
  • $\chi^2 > \chi_{\alpha/2}^2$ 혹은 $\chi^2 < \chi_{1-\alpha/2}^2$

(여기서 $\chi_{\alpha}^2$은 자유도 $\nu = n -1$에 대하여 $P(\chi^2 >\chi_{\alpha}^2) = \alpha$가 되도록 선택)

가설 $\sigma_1^2 = \sigma^2$의 검정

• 가정 : 정규 모집단으로부터의 독립 표본
• $H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
• $H_{\alpha}$
  • $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$
• 검정 통계량 : $F = S_1^2/S_2^2$
• 기각역 : $F > F_\alpha$
  여기서 $F_\alpha$는 $F$가 $\nu_1 = (n_1 - 1)$과 $\nu_2 = (n_2 - 1)$인 $F$분포를 따를 때 $P(F > F_\alpha) = \alpha$가 되는 값이다.

10.10 검정력과 네이만-피어슨 보조정리

10.11 가능도비 검정

10.12 요약