연속변수와 그들의 확률분포

Wackerly et al., Mathematical Statistics with Applications을 읽고
책 내용을 정리하였습니다.

4.1 서론

연속확률변수

어느 구간에 속하는 모든 값을 택할 수 있는 확률변수

4.2 연속확률변수의 확률분포

분포함수

$Y$를 확률변수라 할 때
$Y$의 분포함수(distribution function)는 $F(y)$로 나타내며

$F(y) = P(Y \leq y), - \infin < y < \infin$

계단함수

누적분포함수가 $Y$의 가능한 값들 사이에서는 변화가 없고 $Y$의 가능한 값들 각각에서 점프 또는 계단식으로 증가하는 함수

분포함수의 성질

$F(y)$가 분포함수라면 다음이 성립
1. $F(-\infin) = \lim_{y \to -\infin}F(y) = 0$
2. $F(\infin) = \lim_{y \to \infin}F(y) = 1$
3. $F(y)$는 $y$의 비감소함수이다. 만일 $y_1, y_2$가 $y_1 < y_2$ 인 임의의 값이라 하면, $F(y_1) \leq F(y_2)$이다.

연속확률변수

$Y$는 분포함수 $F(y)$를 갖는 확률변수
$F(y)$가 $-\infin < y < \infin$에 대해 연속이면 $Y$를 연속(continuous)확률변수라 함

확률밀도함수

$F(y)$ 연속확률변수 $Y$의 분포함수라 하면 도함수가 존재할 때
$f(y) = \frac{dF(y)}{dy} = F^\prime(y)$ 를 확률변수 $Y$의 확률밀도함수(probability density function)라 한다.

밀도함수의 성질

$f(y)$ 연속확률변수 $Y$의 밀도함수라 하면 다음이 성립
1. 모든 $y, -\infin < y < \infin$에 대해 $f(y) \geq 0$
2. $\int_{-\infin}^{\infin} f(y)\, dy = 1$

백분위수

• $Y$는 임의의 확률변수
  $0 < p < 1$이면, Y의 p분위수(pth quantile)는 $P(Y \leq \phi_p) = F(\phi_p) \geq p$를 만족하는 최솟값 $\phi_p$
• $Y$가 연속확률변수면
  $\phi_p$는 $P(Y \leq \phi_p) = F(\phi_p) = p$를 만족하는 최솟값
• $\phi_p$를 Y의 100p 백분위수(100pth percentile)이라 하기도 함

구간 확률

$Y$가 밀도함수 $f(y)$를 갖고 $a<b$이면, $Y$가 구간 $[a,b]$에 속할 확률은 다음과 같음

$P(a \leq Y \leq b) = \int_{a}^{b} f(y)dy$

4.3 연속확률변수의 기댓값

연속확률변수 기댓값

연속확률변수 $Y$의 기댓값은 적분이 존재하면 다음과 같다

$E(Y) = \int_{-\infin}^{\infin}yf(y)dy$

확률변수함수 기댓값

$g(Y)$를 $Y$의 함수라 하고 적분이 존재할 때 $g(Y)$의 기댓값

$E[g(Y)] = \int_{-\infin}^{\infin}g(y)f(y)dy$

연속확률변수함수 기댓값 성질

$c$는 상수이고 $g_1(Y), g_2(Y), ... g_k(Y)$는 연속확률변수 $Y$의 함수일 때 다음이 성립
1. $E(c) = c$
2. $E[cg(Y)] = cE[g(Y)]$
3. $E[g_1(Y) + g_2(Y) + ... + g_k(Y)] = E[g_1(Y)] + E[g_2(Y)] + ... + E[g_k(Y)]$

4.4 균일확률분포

연속균일확률분포

$\theta_1 < \theta_2$이고 확률변수 $Y$의 밀도함수가 다음과 같으면,
$Y$는 구간 $(\theta_1, \theta_2)$에서 연속균일확률분포(uniform probability distribution)

모수

밀도함수의 특정한 형태를 결정하는 상수를 밀도함수의 모수(parameter)라 함

평균, 분산

$\theta_1 < \theta_2$이고 확률변수 $Y$가 구간 $(\theta_1, \theta_2)$에서 균일하게 분포된 확률변수라 하면 다음이 성립
$\mu = E(Y) = \frac {\theta_1 + \theta_2}{2}, \sigma^2 = V(Y) = \frac{(\theta_2 - \theta_1)^ 2}{12}$

4.5 정규확률분포

4.6 감마확률분포

4.7 베타확률분포

4.8 몇 가지 일반적인 의견

4.9 그 밖의 기댓값

4.10 체비셰프 정리

4.11 불연속 함수와 혼합확률분포의 기댓값

4.12 요약