추정

Wackerly et al., Mathematical Statistics with Applications을 읽고
책 내용을 정리하였습니다.

8.1 서론

모수(parameter)

모집단의 수치적 기술측도

목표모수(target parameter)

실험에서 관심있는 모수

점추정(point estimate)

미지의 모평균 $\mu$에 가까우리라 생각되는 하나의 수치 활용

구간추정(interval estimate)

$\mu$가 두 수치 사이에 놓인다고 판단

추정량

추정량(estimator)은 표본에 포함된 측정값을 가지고 추정값을 어떻게 계산하는지를 알려주는, 일반적으로 공식으로 표현되는 규칙

8.2 점추정량의 편향과 평균제곱오차

비편향

$E(\hat{\theta}) = \theta$를 만족하는 점추정량을 비편향(unbiased)라 한다.

점추정량

$\hat{\theta}$을 모수 $\theta$의 점추정량이라 한다.
$E(\hat{\theta}) = \theta$라면 $\hat{\theta}$는 비편향 추정량,
$E(\hat{\theta}) \neq \theta$라면 편향 추정량이라 한다.

점추정량 편향

점추정량 $\hat{\theta}$의 편향은 $B(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta$로 주어진다.

평균제곱오차

• 점추정량 $\hat{\theta}$의 평균제곱오차(mean square error)는
  $MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2]$

• $B(\hat{\theta})$이 추정량 $\theta$의 편향을 나타낸다면
  $MSE(\hat{\theta}) = V(\hat{\theta}) + [B(\hat{\theta})]^2$

8.3 몇 가지 일반적인 비편향 점추정량

표준오차

추정량 $\hat{\theta}$의 표집분포의 표준편차, $\sigma_{\hat{\theta}} = \sqrt{\sigma_{\hat{\theta}}^2}$을 추정량 $\hat{\theta}$의 표준오차(standard error)라 한다.

8.4 점추정량의 우수성 평가

추정오차

추정오차(error of estimation) $\epsilon$은 추정량과 목표모수와의 거리이다. 즉 $\epsilon = |\hat{\theta} - \theta|$이다.

8.5 신뢰구간

구간추정량

구간추정량(interval estimator)은 구간의 끝점이 되는 두 수를 계산하기 위하여 표본 측정값을 사용하는 방법을 규정하는 규칙이다.

신뢰구간

구간추정량을 일반적으로 신뢰구간(confidence interval)이라 한다.

신뢰상한, 신뢰하한

신뢰구간의 위와 아래 끝점을 각각 신뢰상한(upper confidence limit), 신뢰하한(lower confidence limit)이라 한다.

양측신뢰구간

$\hat{\theta_L}, \hat{\theta_U}$을 모수 $\theta$에 대한 신뢰하한과 상한이라 할 때
만약
$P(\hat{\theta_L} \leq \theta \leq\hat{\theta_U}) = 1 - \alpha$
라면 확률 $(1 - \alpha)$가 신뢰계수이다.
$[\hat{\theta_L}, \hat{\theta_U}]$로 정의된 확률구간을 양측신뢰구간(two-sided confidence interval)이라 한다.

추축법

추축법(pivotal method)은 신뢰구간을 구하는 매우 유용한 방법이다. 이 방법은 두 가지 특성을 갖는 추축량을 찾는데 의존한다.
1. $\theta$가 유일한 미지의 양인 표본 측정값과 모수 $\theta$의 함수이다.
2. 확률분포가 모수 $\theta$에 의존하지 않는다.

8.6 대표본 신뢰구간

8.7 표본크기 선택

8.8 $\mu$와 $\mu_1 - \mu_2$의 소표본 신뢰구간

분산이 미지인 정규분포의 소표본 신뢰구간의 요약

• 모수 $\mu$일 때 신뢰구간(자유도 = $\nu$)
  $\bar{Y} \pm t_{\alpha/2}(\frac{S}{\sqrt{n}}), \nu=n-1$
• 모수 $\mu_1-\mu_2$일 때 신뢰구간(자유도 = $\nu$)
  $(\bar{Y_1} - \bar{Y_2}) \pm t_{\alpha/2}S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \\ \nu = n_1 + n_2 - 2 \\ S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
  표본이 독립이고 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$라 가정

8.9 $\sigma^2$의 신뢰구간

$\sigma^2$에 대한 $100(1-\alpha)$의 신뢰구간

$(\frac{(n-1)S^2}{\chi_{(\alpha/2)}^2}, \frac{(n-1)S^2}{\chi_{1- (\alpha/2)}^2})$

8.10 요약