확률변수의 함수

Wackerly et al., Mathematical Statistics with Applications을 읽고
책 내용을 정리하였습니다.

6.1 서론

6.2 확률변수들의 함수의 확률분포 구하기

• 분포함수법
• 변수변환법
• 적률생성함수법

6.3 분포함수법

분포함수법의 개요

$U$를 확률변수 $Y_1, Y_2, ..., Y_n$의 함수라 하자
1. $(y_1, y_2, ..., y_n)$ 공간에서 $U=u$ 영역을 구한다.
2. $U \leq u$ 영역을 구한다.
3. $U \leq u$ 영역에서 $f(y_1, y_2, ..., y_n)$을 적분하여 $F_u(u) = P(U \leq u)$를 구한다.
4. $F_U(u)$를 미분하여 밀도함수 $f_U(u)$를 구한다. 그러므로 $f_U(u) = dF_u(u)du$이다.

6.4 변수변환법

변수변환법

$Y$는 확률밀도함수 $f_Y(y)$를 갖는다고 하자.
만일 $h(y)$가 $f_Y(y) > 0$인 모든 y에 대해 증가함수거나 감소함수이면,
$U = h(Y)$는 다음의 밀도함수를 갖는다

$f_U(u) = f_Y[h^-1(u)]|\frac {dh^-1}{du}|$, 여기서 $\frac {dh^-1}{du} = \frac {d[h^-1(u)]}{du}$

• 여기서 점들의 집합 ${y:f_Y(y) > 0}$을 밀도함수 $f_Y(y)$의 받침(support)라 한다.

변수변환법 개요

$U = h(Y)$라 하자.
여기서 $h(y)$는 $f_Y(y) > 0$인 모든 $y$에 대해 $y$의 증가함수이거나 혹은 감소함수이다.
1. 역함수 $y = h^-1(u)$를 구한다.
2. $\frac{dh^{-1}}{du} = \frac{d[h^-1(u)]}{du}$ 를 계산한다.
3. 다음 식에 의해 $f_U(u)$를 구한다.

$f_U(u) = f_Y[h^-1(u)]|\frac {dh^-1}{du}|$

6.5 적률생성함수법

유일성 정리

$m_X(t)$와 $m_Y(t)$는 각각 확률변수 $X$와 $Y$의 적률생성함수라 하자.
만일 적률생성함수가 모두 존재하고 $t$의 모든 값에 대해 $m_X(t) = m_Y(t)$이면,
$X$와 $Y$는 동일한 확률분포를 갖는다.

적률생성함수법

$Y_1, Y_2, ... Y_n$은 독립이며 각각 적률생성함수 $m_{Y_1}(t), m_{Y_2}(t), ..., m_{Y_n}(t)$를 갖는 확률변수라 하자.
만일 $U = Y_1 + Y_2 + ... + Y_n$이라 하면, 다음이 성립
$m_U(t) = m_{Y_1}(t) \times m_{Y_2}(t) \times ... \times m_{Y_n}(t)$

평균 및 분산

$Y_1, Y_2, ... Y_n$은 독립이며
$i = 1,2, ..., n$에 대해 $E(Y_i) = \mu_i$ 이고 $V(Y_i) = \sigma_i^2$인 정규분포를 따르는 확률변수이고
$a_1, a_2, ..., a_n$은 상수라 하자.

$U = \sum_{i=1}^{n}a_iY_i = a_1Y_1 + a_2Y_2 + ... + a_nY_n$
이라 하면, $U$는 다음의 평균과 분산을 갖는 정규분포를 따른다.
$E(U) = \sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i = a_1\mu_1 + a_2\mu_2 + ... + a_n\mu_n$
그리고
$V(U) = \sum_{i=1}^{n}a_i\sigma^2_i = a_1\sigma^2_1 + a_2\sigma^2_2 + ... + a_n\sigma^2_n$

카이제곱분포

$Y_1, Y_2, ... Y_n$은 독립이며
$Z_i$를
$Z_i = \frac{Y_i - \mu_i}{\sigma_i}, i = 1,2,...,n$
로 정의하면,
$\sum_{i=1}^{n}Z_i^2$은 자유도가 $n$인 $\chi^2$분포를 따른다.

적률생성함수법의 개요

$U$를 확률변수 $Y_1, Y_2, ..., Y_n$의 함수라 하자.
1. $U$의 적률생성함수 $m_U(t)$를 구한다.
2. $m_U(t)$를 잘 알려진 다른 적률생성함수들과 비교한다.
만일 t의 모든 값에 대해 $m_U(t) = m_V(t)$이면,
정리 6.1에 의해 $U, V$가 동일한 분포를 갖는다.

6.6 야코비안을 이용한 다변량 변환(선택)

이변량 변수변환법

$Y_1, Y_2$가 결합밀도함수 $f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2)$를 갖는 연속확률변수이고
$f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) > 0$인 모든 $(y_1, y_2)$에 대해
$u_1 = h_1(y_1, y_2), u_2 = h_2(y_1, y_2)$
가
$y_1 = h_1^{-1}(u_1, u_2), y_2 = h_2^{-1}(u_1, u_2)$
인 역함수를 갖는 $(y_1, y_2)$에서 $(u_1, u_2)$로의 일대일 함수라고 가정한다.
만일 $h_1^{-1}(u_1, u_2)$와 $h_2^{-1}(u_1, u_2)$가 $u_1, u_2$에 관해 연속인 편도함수를 갖고 야코비안(Jacobian)

이면, $U_1, U_2$의 결합밀도함수는 다음과 같다.
$f_{U_1, U_2}(u_1, u_2) = f_{Y_1, Y_2}(h_1^{-1}(u_1, u_2), h_2^{-1}(u_1, u_2))|J|$
여기서 $|J|$는 야코비안의 절댓값

6.7 순서통계량

순서통계량(order statistic)

순서가 정해진 변수

순서통계량 결합밀도함수

$Y_1, Y_2, ..., Y_n$은 독립이며 공통 분포함수 $F(y)$와 공통 밀도함수 $f(y)$를 갖는 동일하게 분포된 연속확률변수라 하자.
$Y_{(k)}$를 $k$번째 순서통계량이라면, $Y_{(k)}$의 밀도함수는 다음과 같다.

$g_{(k)}(y_k) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(y_k)]^{k-1}[1-F(y_k)]^{n-k}f(y_k), -\infin < y_k < \infin$

만일 $j, k$를 $1 \leq j < k \leq n$인 두 정수라 하면, $Y_{(j)}, Y_{(k)}$의 결합밀도함수는 다음과 같다.

$g_{(j)(k)}(y_j, y_k) = \frac{n!}{(j-1)!(k-1-j)!(n-k)!}[F(y_j)]^{j-1} \\ \times [F(y_k) - F(y_j)]^{k-1-j} \times [1-F(y_k)]^{n-k}f(y_j)f(y_k), -\infin < y_j < y_k < \infin$

6.8 요약