[Statistics] Von Mises Distribution

폰 미제스 분포는 원형 확률 분포(circular probability distribution) 중 하나로, 주로 각도 데이터를 다룰 때 사용된다. 방향, 시계각, 위상 등 주기적인 데이터에 적합하며, 정규분포의 원형 버전으로 간주된다.

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1. 확률밀도함수 (PDF)

폰 미제스 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다:

• 정의역: $\theta \in [-\pi, \pi)$ 또는 $[0, 2\pi)$
• $\mu$: 평균 방향 (mean direction)
• $\kappa$: 집중도 (concentration parameter), $\kappa \geq 0$
• $I_0(\kappa)$: 제0종 수정 Bessel function (베셀 함수) (modified Bessel function of the first kind)

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2. 유도 및 정당화

폰 미제스 분포는 최대 엔트로피 원리(maximum entropy principle)를 통해 유도할 수 있다. 다음 제약조건을 만족하는 분포 중에서 엔트로피가 최대가 되는 분포를 찾는다. 이는 원형 좌표계가 아닌 일반 좌표계에서 가우시안 분포가 유도되는 방식과 유사하다.

• $\int_{-\pi}^{\pi} p(\theta) d\theta = 1$
• $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\theta - \mu) \cdot p(\theta) d\theta = c$

이를 위해 라그랑지 승수법을 적용하면 다음 형태의 분포가 유도된다:

정규화 상수 $Z = 2\pi I_0(\kappa)$를 이용해 확률밀도함수를 완성할 수 있다. 베셀 함수가 등장하는 배경은 다음과 같다. $\exp(\kappa \cos(\theta - \mu))$는 $\theta = \mu$ 주변이 높고, 멀어질수록 낮아지는 방향 중심적 형태이다. 원 위에서 이 함수를 1로 정규화하려면, 면적을 계산해야 하고, 이를 계산하면 $2\pi I_0(\kappa)$가 등장한다. 즉, 인위적으로 기입한 것이 아닌, 주어진 항등식을 계산하는 과정에서 면적 보정의 역할을 하는 수학적 필연식이다.

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3. 각 항의 의미

항목	의미
$\theta$	확률변수 (각도, 방향)
$\mu$	평균 방향 (Mean direction)
$\kappa$	집중도; 값이 클수록 $\mu$ 주변에 더 모여 있음
$I_0(\kappa)$	정규화 상수 역할; 베셀 함수로 인해 수치 계산 필요

• $\kappa = 0$이면 $f(\theta) = \frac{1}{2\pi}$로 균일 분포가 된다.
• $\kappa > 0$이면 $\theta$는 $\mu$를 중심으로 더 집중된다.

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4. 누적분포함수 (CDF)

폰 미제스 분포의 누적분포함수는 다음과 같이 정의된다:

하지만 일반적인 경우 닫힌 형태(closed-form)는 존재하지 않는다. 따라서 수치적 방법(numerical integration)을 통해 근사적으로 계산한다.

• References
  * von Mises distribution - Wikipedia