[Week 2-4] 📊확률론 맛보기

확률론 너무 어렵다... 우선 고등수학을 복습

2주차 목요일

• 고등수학 확률
• 고등수학 통계

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📊[확률]

• 시행, 사건, 표본공간

  • 시행 : 주사위나 동전 던지기처럼 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있으며 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 (결과를 알 수 없는) 실험이나 관찰
  • 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합
  • 사건 : 시행의 결과로, 표본공간의 부분집합.
    
    주사위 하나를 던지는 시행에서 표본공간은 나올 수 있는 모든 눈의 집합인 {1,2,3,4,5,6}이고, 사건은 시행의 결과(2가 나오는 것, 5가 나오는 것, 홀수가 나오는 것 등)이다.
    
    

• 수학적 확률
  사건 A의 확률 P(A) : 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성
  P(A) = n(A) / n(S) 사건 A의 원소 수 / 표본공간의 원소 수
  
  주사위 하나를 던지는 시행에서 짝수가 나오는 사건을 A라고 하면 사건 A = {2,4,6}이고, 표본공간 S = {1,2,3,4,5,6}이다. 따라서 사건 A가 일어날 확률 P(A) = 3/6이다.
  
  

• 확률의 덧셈정리
  표본공간 S의 두 사건 A, B에 대하여 사건 A 또는 B가 일어날 확률 P(A∪B)는
  P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) 이다.
  
  이 때 두 사건이 서로 배반사건(하나가 일어나면 다른 하나가 일어나지 않는 관계)이면 P(A∩B)이 0이므로 확률 P(A∪B)는 P(A∪B) = P(A)+P(B)이다.
  
  

• 조건부 확률
  조건부 확률 P(B|A) : 어떤 사건 A가 일어났다고 가정했을 때 사건 B도 일어날 확률
  사건 A와 B가 동시에 일어날 확률 P(A∩B)와는 다르다. P(A∩B)는 표본공간이 S지만 조건부 확률 P(B|A)은 표본공간이 A이고, 그 안에서 사건 B가 일어날 확률을 말한다.
  
  조건부 확률 P(B|A)는 다음과 같이 구할 수 있다. P(B|A) = n(A∩B) / n(A)
  위 식 우변의 분자와 분모를 n(S)로 나누면 P(B|A) = (n(A∩B)/n(S)) / (n(A)/n(S))로, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
  
  

• 확률의 곱셈정리
  두 사건 A, B가 동시에 일어날 확률 P(A∩B)은 위에서 구한 조건부확률 식의 양 변에 P(A)를 곱해서 구할 수 있으며, 공식은 다음과 같다. P(B|A)P(A) = P(A∩B)
  
  

• 사건의 독립과 종속
  카드를 2장 뽑는 시행에서 첫번째로 뽑는 카드를 사건 A, 두번째로 뽑는 카드를 사건 B라고 하고, 1. 첫번째로 뽑은 카드를 다시 돌려놓고 두번째 카드를 뽑는 경우 와 2. 첫번째로 뽑은 카드를 돌려놓지 않고 두번째 카드를 뽑는 경우 두 가지로 나누어서 생각해 보자.

  1. 첫번째로 뽑은 카드를 다시 돌려놓고 두번째 카드를 뽑는 경우
     처음 뽑은 카드를 다시 넣고 두번째 카드를 뽑는 경우에는 사건 A가 일어나는 것은 사건 B가 일어날 확률에 영향을 끼치지 않는다. (P(B|A) = P(B))
     이 경우 두 사건 A와 B는 서로 독립이라고 한다.
     
     
  2. 첫번째로 뽑은 카드를 돌려놓지 않고 두번째 카드를 뽑는 경우
     처음 뽑은 카드를 다시 넣지 않았기 때문에 사건 A에 의해 표본공간 S의 크기가 줄어들었다. 이와 같이 사건 A가 일어나는 것이 사건 B가 일어날 확률에 영향을 끼치는 경우(P(B|A) ≠ P(B))
     두 사건 A와 B는 서로 종속이라고 한다.

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📊[통계]

• 확률변수
  어떤 시행에서 표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시킨 관계
  예를 들어 하나의 동전을 2회 던지는 시행에서 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 하면 표본공간 S는
  S = {HH, HT, TH, TT} 가 된다. 이 때 동전의 앞면이 나온 횟수를 X라고 하면 표본공간의 각 원소에 앞면이 나온 횟수가 하나씩 대응되어 X = {2, 1, 1, 0}과 같은 관계를 이룬다. 이와 같은 X를 확률변수라고 부른다.
  사실 일대일 대응하는 X는 함수지만 변수 역할도 해서 확률변수라고 부른다.

  • 이산확률변수
    확률변수가 가질 수 있는 값이 자연수이거나 유한해서 그 수를 셀 수 있는 경우
    ex) 트럼프카드 덱에서 카드를 1장 뽑을 때 카드에 적힌 숫자 X
    
    
  • 연속확률변수
    확률변수가 가질 수 있는 값이 어떤 범위에 속하는 임의의 실수 값인 경우
    ex) 성인 100명을 뽑아서 키를 쟀을 때 키의 평균값 X
    
    

• 이산확률변수의 확률분포
  이산확률변수인 X가 어떤 값 x를 가질 확률은 기호로 P(X=x) 와 같이 나타낸다.
  이산확률변수 X가 가질 수 있는 값이 x_1, x_2, ... x_n이고 X가 그 각각의 값을 가질 확률이 p_1, p_2, ... p_n이라면 x...와 p...는 일대일 대응하며, 이 대응 관계를 이산확률변수 X의 확률분포라고 한다. 이 대응 관계를 나타내는 함수 P(X=x_i) = p_i는 이산확률변수 X의 확률질량함수라고 부른다.
  
  
  확률질량함수 P(X=x_i) = p_i는 다음과 같은 성질을 가진다.

  1. 0 ≤ P(X=x_i) ≤ 1
  2. P(X=x_1) + P(X=x_2) + ... + P(X=x_n) = 1
     
     

• 연속확률변수의 확률분포
  X가 연속확률변수인 경우에는 특정 값 x를 가질 확률이 성립하지 않는다. 대신 연속확률변수 X가 a 이상 b 이하인 값을 가질 확률을 구할 수 있는데, 이것을 기호로 P(a≤X≤b)와 같이 나타낸다. 연속확률변수의 확률분포는 각 계급이 일정 범위를 갖는 히스토그램으로 표현할 수 있다. 계급의 범위가 아주 작도록 좁힐 경우 곡선 형태의 그래프를 얻을 수 있는데, 이 그래프를 연속확률변수 X의 확률분포라고 한다. 또한 이 그래프는 y=f(x) 형태의 함수로 나타낼 수 있고, 이 함수를 연속확률변수 X의 확률밀도함수라고 부른다.
  * 연속확률변수 X가 특정 값 x를 가질 확률은 0이다. 따라서 P(a < x < b) = P(a ≤ x ≤ b)
  
  확률밀도함수 y=f(x) (α ≤ x ≤ β)는 다음과 같은 성질을 가진다.

  1. f(x) ≥ 0
  2. y=f(x)의 그래프와 x축, 두 직선 x=α, x=β로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다.
  3. 두 상수 a, b (α ≤ a ≤ b ≤ β)에 대하여 확률 P(a ≤ x ≤ b)는
     y=f(x)의 그래프와 x축, 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
     
     

• 이산확률변수의 기대값(평균)
  이산확률변수 X의 확률질량함수를 P(X=x_i) = p_i라고 할 때 확률변수 X가 갖는 각각의 값 x_i에 해당 값을 가질 확률 p_i를 곱한 것들의 평균을 이산확률변수 X의 기대값이라고 하며, 기호로는 E(X)와 같이 나타낸다.

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👨‍👩‍👧‍👦[피어 세션]

확률론 기초가 부족해서 강의를 따라가기 힘들었다. 피어세션 시간에 화면 공유로 다 같이 강의자료 ppt를 보면서 차근차근 복습하긴 했지만 용어부터가 생소해서 쉽지 않았다. 모르는 내용을 억지로 집어넣으려고 하는 것보다 차라리 하루 접어 두고 기초를 보는 게 낫겠다고 생각해서 고등학교 확률과 통계 책을 구해다 봤다. 이제 용어가 무슨 의미인지 어느 정도 알게 되었으니 틈틈이 강의를 다시 보며 보충하려고 한다.